平面向量中三点共线及平面向量中的最值问题浅析

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：且。特别地有：当点P在线段AB上时，当点P在线段AB之外时，典例剖析已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是分析：点P落在的边BC上B，P,C三点共线由基本不等式可知：，取等号时，符合所以的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC中，，点P是BC上的一点，若，则实数m的值为（）A．B.C.D.分析：三点共线，又，故选C例3、在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为．：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：，图4又三点共线，图4由平面内三点共线定理可得：变式、直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知＝m，＝n，则m＋n=分析：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点＝m，＝n又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：例4、点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：因为G是的重心，分析：又三点共线，为定值3例5、如图所示,在平行四边形ABCD中，,,CE与BF相交于G点，记，，则_______分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得,,…①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得，，……………②由①②两式可得：PABPABCMN变式2、在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且，，试用、表示解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得,AN﹕AC=1﹕4,……①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得∵AM﹕AB=1﹕3∴，，……………②由①②两式可得：练习：1.，点在边上，，设，则（）2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=03.已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是4、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知,则（）A．B．C．D．5、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b6、（2008年广东卷）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A．B．C． D．7、在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于点G,记，，则＝()A．B．C． D．8、在△ABO中，已知，且AD与BC相交于点M，设则（结果用表示）平面向量中的最值问题浅析平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.图11图11分析：寻求刻画点变化的变量，建立目标与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。解：设，以点为原点，为轴建立直角坐标系，则，，。即 。因此，当时，取最大值2。例2、已知点Q为射线OP上的一个动点，当取最小值时，求分析：因为点Q在射线OP上，向量与同向，故可以得到关于坐标的一个关系式，再根据取最小值求解：设，则当时，取最小值-8，此时二、利用向量的数量积求最值例3、三边长为，以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断P、Q在什么位置时，有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。解：图21当且仅当与同向时，有最大值。图21三、利用向量模的性质求解例4：已知求的最大值与最小值。分析：注意到，考虑用向量模的性质求解。解：由条件知。设，则=，，。所以当与同向时，取最大值3；当与反向时，取最小值1。四、利用几何意义，数形结合求解例5、如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（A）（B）图3（C）（D）图3分析：平面向量数量积的几何意义为等于的长度与在方向上的投影的