高中数学-3.2数学证明课件-北师大版选修12

成才之路·数学(shùxué)路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修(xuǎnxiū)1-2第一页，共48页。推理(tuīlǐ)与证明第三章第二页，共48页。§2数学证明第三章第三页，共48页。典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1第四页，共48页。自主预习学案第五页，共48页。结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单(jiǎndān)推理．通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．第六页，共48页。重点：演绎推理(yǎnyìtuīlǐ)的含义及演绎推理(yǎnyìtuīlǐ)规则．难点：演绎推理(yǎnyìtuīlǐ)的应用．第七页，共48页。思维导航日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属(jīnshǔ)都导电，因为铁是金属(jīnshǔ)，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种推理形式正确吗？演绎推理(yǎnyìtuīlǐ)第八页，共48页。新知导学1．演绎推理(tuīlǐ)从______________出发，推出__________情况下的结论，我们把这种推理(tuīlǐ)称为演绎推理(tuīlǐ)，简言之，演绎推理(tuīlǐ)是由____________的推理(tuīlǐ)．一般性的原理(yuánlǐ)某个(mǒuɡè)特殊一般到特殊第九页，共48页。2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的__________；(2)小前提——所研究的__________；(3)结论(jiélùn)——根据一般原理，对特殊情况做出的________．一般(yībān)原理特殊(tèshū)情况判断第十页，共48页。其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结论：________.利用集合知识说明(shuōmíng)“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么________________________.S是PS中所有元素(yuánsù)也都具有性质P第十一页，共48页。3．在演绎推理中，前提与结论(jiélùn)之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么_______必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论(jiélùn)________正确．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的_______作为下一个三段论的前提．结论(jiélùn)不一定(yīdìng)结论第十二页，共48页。牛刀小试1．在不等边三角形ABC中，a为最长边，要想得到其对角(duìjiǎo)∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是()A．a2<b2＋c2 B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2[答案]C第十三页，共48页。第十四页，共48页。[答案]A[解析]大前提错误，因为(yīnwèi)对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，故选A.第十五页，共48页。3．(2013·天津红桥区高二质检)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是()A．完全正确B．推理形式(xíngshì)不正确C．错误，因为大小前提不一致D．错误，因为大前提错误[答案]A第十六页，共48页。4．(2014·郑州一中期中，厦门六中高二期中)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．大前提错误(cuòwù) B．小前提错误(cuòwù)C．推理形式错误(cuòwù) D．结论正确[答案]A[解析]∵f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0取得极值的必要条件，而不是充分条件，∴大前提是错误(cuòwù)的．第十七页，共48页。5．补充下列推理，使其成为完整的三段论．(1)因为互为相反数的两个数的和为0.又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.(2)因为________，又因为e＝2.71828…是无限不循环小数(xúnhuánxiǎoshù)，所以e是无理数．[答案](1)a＝－8，(2)无限不循环小数(xúnhuánxiǎoshù)都是无理数第十八页，共48页。6．判断下列推理是否正确？为什么？“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论(jiélùn))．”[解析]不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．第十九页，共48页。典例探究学案第二十页，共48页。演绎推理(yǎnyìtuīlǐ)的基本形式——三段论[分析]即写出推理的大前提、小前提、结论(jiélùn)．大前提可能在题目中给出，也可能是已经学过的知识．第二十一页，共48页。[解析](1)每个菱形(línɡxínɡ)的对角线都相互垂直大前提正方形是菱形(línɡxínɡ)小前提正方形的对角线相互垂直结论(2)若两个角是对顶角则两角相等大前提∠1和∠2不相等小前提∠1和∠2不是对顶角结论第二十二页，共48页。[方法规律总结]分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个(yīɡè)特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．第二十三页，共48页。把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)因为(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)如果∠A与∠B是两条平行(píngxíng)直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°；(4)因为函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(5)711能被3整除．第二十四页，共48页。[分析(fēnxī)]在使用三段论推理的过程中，有时为了简便，略去大前提或小前提，分析(fēnxī)推理过程时，要把略去的部分补出来，明确其大前提、小前提是什么．[解析](1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．第二十五页，共48页。(3)大前提：两条直线平行，同旁内角(tónɡpánɡnèijiǎo)互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(tónɡpánɡnèijiǎo)，结论：∠A＋∠B＝180°.(4)大前提：一次函数都是单调函数；小前提：函数y＝2x－1是一次函数；结论：y＝2x－1是单调函数．(5)大前提：各位数字的和能被3整除的整数，能被3整除；小前提：711的各位数字的和能被3整除；结论：711能被3整除．第二十六页，共48页。演绎推理(yǎnyìtuīlǐ)的判断第二十七页，共48页。(3)三角函数是周期函数(大前提)y＝sinx(0<x<π)是三角函数(小前提)y＝sinx(0<x<π)是周期函数(结论)[分析]判断三段论推理(tuīlǐ)是否正确．必须严格按其推理(tuīlǐ)规则进行考察，其推理(tuīlǐ)规则为：所有M都是P，S是M⇒S是P.既要看大前提、小前提是否有误，也要看推理(tuīlǐ)形式是否合乎规范．第二十八页，共48页。[解析](1)推理形式错误，自然数是整数(zhěngshù)为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数(zhěngshù)．(2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大学”，它的含义是中国的每一所大学，而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概念错误．(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．第二十九页，共48页。[方法规律总结]1.判断(pànduàn)演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．第三十页，共48页。2．在应用三段论推理中，最常见的错误是偷换概念的错误，即大前提与小前提中同一名称的概念含义不同；其次是推理形式(xíngshì)错误，大前提“所有M都是P”，则小前应是“S是M”，而非“S是P”．第三十一页，共48页。第三十二页，共48页。(3)设a＝b(a≠0，b≠0)．等式(děngshì)两边乘以a，得a2＝ab，两边减去b2，得a2－b2＝ab－b2，两边分解因式，得(a＋b)(a－b)＝b(a－b)，两边除以(a－b)，得a＋b＝b，以b代a，得2b＝b，两边除以b，得2＝1.第三十三页，共48页。[解析]上述推理过程都是错误的．(1)犯了偷换论题、以偏概全的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数．因此原题的真实性仍无法断定．(3)所得结果显然是错误的，错误的原因(yuányīn)在于以(a－b)除等式两边．因为a＝b，而a－b＝0，用0除等式两边，这是错误的．第三十四页，共48页。三段论在证明几何问题(wèntí)中的应用第三十五页，共48页。[解析]∵等腰三角形两底角(dǐjiǎo)相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角(dǐjiǎo)，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论第三十六页，共48页。[方法规律总结]应用演绎推理证明(zhèngmíng)时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．第三十七页，共48页。用三段论分析下题的证明过程．如图，D、E、F分别(fēnbié)是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.证明过程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，∴ED＝AF.第三十八页，共48页。第三十九页，共48页。第四十页，共48页。第四十一页，共48页。(1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值．(2)函数g(x)＝2x－1在区间(qūjiān)[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．(3)已知f(x)为“友谊函数”，且0≤x1<x2≤1，求证：f(x1)≤f(x2)．[解题思路探究]第一步，审题．审条件，挖掘解题信息．①定义域[0,1]，在研究函数过程中不能超出这个范围；②“友谊函数”新定义包含三个条件，尤其条件③需严格证明后才能确定．第四十二页，共48页。审结论，明确解题目标．第(1)问已知f(x)为友谊函数，求f(0)可用赋值法求解；第(2)问给出f(x)解析式和定义区间，判断f(x)是否为友谊函数，需紧扣定义验证f(x)是否满足三个条件．第(3)问要证f(x1)≤f(x2)，需依据条件③进行变换，注意条件①在变形中的应用．第二步，建联系，确定解题步骤．先用赋值法求第(1)问，再依次验证(2)中函数满足友谊函数的三个条件，最后，利用恒等变换技巧借助(jièzhù)条件①③推证第(3)问．第三步，规范解答．第四十三页，共48页。[解析](1)取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0，又由f(0)≥0，得f(0)＝0.(2)显然(xiǎnrán)g(x)＝2x－1在[0,1]上满足①g(x)≥0；②g(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1，第四十四页，共48页。则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2