高等数学期末试卷0310年

高等数学（A）03年——10（A（一.填空题（315分11nn幂级数 n(xn

的收敛域 2当常数p满足条 时，级数(1)2

f(z)

sin(z

，则f(z)在z0的留数Res[f(z),0] 微分方程y(x)9y(x)0的通解 Cy1x2A（-1，0）B（1，0）C(

(x2y)dx(xy2)dy的值 微分方程y5y6yxe3x的特解形式为（其中A、B为常数 （A）y （B）y（C）y(Ax （D）yx(Axf(x)2 0x

设1

，S(x) 2x

bn

(x4bn2

f

dx(n1, )，则S(2)S(9)等 4 n设级数(1)nn

条件收敛，则必 （A）

收 （B）a2收nn （C）(anan1)收 （D）a2n与a2n1都收（

1计算积分1

xsinydy z(ze2z(z计算复积 2dz，其中c为正向圆周：z3cf(x

x28x

x1f(z

z2

在圆环域1

z2

内展级数求幂级数

2n1

四．1（6）求微分方程2ydxy26x)dy02（9分）y4y8x4sin2xy(00y(05五（8分）Ix2dydzy2dzdxz3x)dxdy，其中为抛物面zx2y20z1六（9分）f(xf(11f(17f(xI [x2f(x11xf(x)]dy32f(xydxA（1,1，B（0,3）七（6分）设级数uu

收敛，且正项级数

收敛，证明级数uv2 n

n

n（A（曲面2xy4zez3在点(1,2,0)处的法线方 幂级数

的收敛域 20dy0fxydx1

fx,ydx C设曲线C为圆周x2y21,则曲线积分x2y23xds C当 , 时,向量场Α2xyix3zjyzk为有势n n

n1（A）1n1

n3en ln nnnnn

设区域D由直线yx,yx和x1围成，D1是D位于第一象限的部分，则 xyysinxydxdy2 Dxyysinxydxdy2ysinxy Dxyysinxydxdy2xyysinxy DD设z

4x24x2x2y2（A） （B）16 （C）16 （D）8 二元函数fx,y在点x0,y0处的两个偏导数fxx0,y0,fyx0,y0存在是函数f在 (A)充分而非必要条 zzxyx22z

fy23zf 2yx3xy确定的值，使曲线积分x24xydx6x1y22ydyXoYCfxlnx2x2x2x,0xfx0,1x

（2）S( S(2fz

z2

分别在圆环域(1)0z1 (2)3z2内展7

z

z12z28求幂级数

1n8讨论级数1nn

1

1nn

k6设级数axk1在0,1fxk

f1nn

k（A（ 交换积分次序：0dx

f(x,y)dy 曲面ezzxy3在点M(2,1,0)处的切平面方程 向量场A3x2yz2i4xy2z2j2xyz3k在点(2,1,1)处的散度divA 已知曲线积分excosyyf(x)dxx3exsinydy与路径无关，则f(x) L已知微分式dz2xy3x2dxx23y2dy，则其原函数z 若幂级数a(x1)n在x2处条件收敛，则na(x1)n1的收敛半径R n

x1,1x将函数f(x)1 0x1在[0,]上展开为正弦级数，其和函数x1,1x的函数值S(1) sinzdzC设C为正向圆周：sinzdzCnf(zzf(z)ann

，则对任一正整数k

f(z)

z的留数Resf(z);0 y10（7）zz(xyx2y2xz所确定，其中y x,y11（ 其收敛域12（

n

n3

n1n

n1n1413（9）Ixx2y2dxyxL

xLA(2,1x

（14（ 2

n12nsin2nn

1（15（1z12内展开级数

分别在圆环域（1）1

z（2）1

lnn1n（16（n

n1 （17（yf(x,y,z)xdydzxf(x,y,z)ydzdx2xyf(x,y,z)zdxdyS2Sz1x2y2z2z82f(x,yz（A（已知曲面zxy上一点M0(x0y0z0处的法线垂直于平面x3yz90，则x0 ，y0 ，z0 交换积分次序1dx2y2设rx2y2

f(x,y)dy ，则divr 设正向闭曲线C：xy1，则曲线积分x2ydxxy2dy C 设幂级数axn的收敛半径为3，则幂级数na(x1)n1的收敛区间 n

设f(x)ex2，则f(2n)(0) f(x

x

2为周期的FourierSx)1x,0xS(3) coszdzCz设正向圆周C:coszdzCz函数f(z)zcos1的孤立奇点z0的类型 z极点，Resf(z),0 使二重积分44x2y2d的值达到最大的平面闭区域D D 4判断级数 n42n

n求幂级数n

的收敛域与和函数f(xxx在(1,1上展开为以2为周期的Fourierf(z)

z24z

在圆环域1z3内展开为Laurent（15）

(cosx2xy1)dx(x2y2

（16）

dx01（17）

v(x,yz)y3z3z3x32z31x21x2

z

x2x2（18）

f(x)1 f

0f101f(x)dx1

110f1（A（幂级数

(xn1

的收敛域 1x21x2将三次积分0

f(x

z)dz（f连续）下的三次积 (2,0,散度divx3iycos(y2z)jk (2,0,xyz曲线zx2

2,xf(xx,0x则S(4)

，且以2Sxf(x的Fourier1设C为圆周z2，取逆时针方向，则C(zi)(z3)dz 1ln(1z)sin 留数Res

z(1cos

,0 已知第二型曲线积分(x44xyn)dx(6xn1y25y4)dy与路径无关，则n L平面5x4y3z1被椭圆柱面4x29y21所截的有限部分的面积 5n n求幂级数n

xx 0xf(x2x,1x2讨论级数nn的敛散性，其中 1判定级数sinnlnn （14（

z2

在圆环域1z2i3内展开为（15

I

x2y2dy其中CB(10ysin(x1A(10xz2z0

x2y2六（17（7）a11,a22，当n3时，有anan1an2证明不等式03

a

，n42

证明级数a收敛，且满足不等式2a2n1 n1（18（ f 证明：xf( C（A（曲面cos(x)x2yexzyz4在点(0,1,2)处的法线方程 x2x22y2n

，则梯度gradu(1,2,0) 设幂级数anx的收敛半径是2，则幂级数n1(x

的收敛区间 设闭曲线C:xy1，取逆时针方向，则曲线积分ydxx2dy的值 CF(x,y)具有一阶连续偏导数，则曲线积分F(x,yydxxdy充分必要条件 1,0xf(x2x,1x

在[0,Sxx21处的函数值S(21) 1设C为圆周z2，取逆时针方向，则积分C(z1i)(z3)dz的值 1 取an ，可使得级数an收敛，且级数anlnn发散

10（7）zf(xy),xyf具有连续的二阶偏导数， 2续导数，计算xxy e11（ e12（

(1)n 是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，n2ln13.（8）f(x1x(x1)展开为以2为周期的Fourier（14（（15

z2

在圆环域1zi3内展开为Laurent五（16）（7）

I

excosydx5xyexsinydy，其中C2y2y

y（17（Sx2其中S为z2 被zx2七（18（本题满分6分）设an0,bn0(n1, )，若存在常数0，使bna

(n1 ，则级数

b

（A（4x24x244

将2

f(xyz)dz（f(t为连续函数）系下的三次积 球面x2y2z23x0在点(1,1,1)处的切平面方程 1,xf(x2x,0x，且以2Sxf(x的Fourier则S(3) ，S(2) 已知(axy3y2cosx)dx1bysinx3x2y2dy为某个二元函数f(x,y则a ,b 1设C为圆周z2，取逆时针方向，则C(zi)(z4)dz 1留数Resln(12z),0 x2y2设r{x,y,z},rr ，则散x2y2设是锥面z x2y2(0z1)下侧，3xdydz2ydzdx(z1)dxdy

；

yx2且xF(tx

f(x,y)dxdyf(xy)

，则F(2)

zz(x,yzezxeyyexzz2 y

x计算

dy0 dx

2

dx4(n1)!174判断级数

nn1 9 2ln 9

n求幂级数n

x的收敛域.（注收敛还是条件收敛

1,0x（14（

在[0,

x2（15

(1

在圆环域2z1内展开为(xy)dx(xy)dx(xCx2

211，其中C为x3y3 ， n1 六（17（8分）求幂级数

1n(2n1)

Sx n1

并求数项级数

1n(2n12n七（18（7）x2y22x、锥面2z

xOyx2x2（A（

x2x2

u2设u

f(r连续可导，r

，f(0)2则lim x0x yy0 设幂级数a(x1)n在x3处条件收敛，则幂级数ax2n的收敛半径R n

f(rF(t)

x2y2z2

f(x2y2z2)dv(t0)，则F(t) 设闭曲线Cx2y21Sx2y2z2R2

ydxx2dyCdS的值 Sx2y2S已知(axsinybx2y)dx(x3x2cosy)dy为某函数u(x,y)的全微分，则a b Cz(z 设圆周C:zCz(z sin 留数Res1cos(2z),0 f(xcosS

(0x展开为以2Sx，S(3) 4 x2y2z23x

2x2y5z5