自考线性代数第六章实二次型

自考线性代数第六章实二次型第一页，共五十页，编辑于2023年，星期一§6.1

实二次型及其标准形第二页，共五十页，编辑于2023年，星期一对应投影变换例

2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j

角的旋转变换例

2阶方阵第三页，共五十页，编辑于2023年，星期一解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0

通过选择适当的的旋转变换使得mx'2+ny'2=0．第四页，共五十页，编辑于2023年，星期一定义：含有n

个变量x1,x2,…,xn

的二次齐次函数称为二次型．第五页，共五十页，编辑于2023年，星期一令aij=aji，则2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xixj

，于是第六页，共五十页，编辑于2023年，星期一对称阵第七页，共五十页，编辑于2023年，星期一对称阵

A的秩也叫做二次型

f的秩．线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的二次型二次型的矩阵第八页，共五十页，编辑于2023年，星期一对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即f=k1

y12+k2

y22+…+kn

yn2

定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.如果标准形的系数k1,k2,…,kn

只在−1,0,1三个数中取值,即 f=k1

y12+…+kp

yp2−kp+1

yp+12−…−kr

yr2

则上式称为二次型的规范形．说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.简记为x=Cy，于是

f=xTAx=

(Cy)TA(Cy)=yT

(CTAC)y第九页，共五十页，编辑于2023年，星期一写出二次型

对应的对称矩阵A。解：可根据所给的二次型的各个系数直接写出对应的对称矩阵例1第十页，共五十页，编辑于2023年，星期一写出由对称矩阵

确定的二次型。解：可根据所给的对称矩阵直接写出对应的二次型例2第十一页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习109】三元二次型的矩阵为（）。A． B．

C．D．A第十二页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习110】实对称矩阵所对应的二次型

______________________．第十三页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习111】二次型的矩阵是______________________。第十四页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习112】二次型的秩是______________________。2【解】

秩为2．

第十五页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习113】实对称矩阵所对应的二次型是________________________________．第十六页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习114】二次型的秩是().A．1 B．2 C．3 D．4C【解】

秩为3．

第十七页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习115】二次型=的正惯性指数为

.1【解】只有的系数是正的。

第十八页，共五十页，编辑于2023年，星期一定义：设A,B

都是n阶矩阵，若有可逆矩阵

P

满足P−1AP=B，则称矩阵A

和B相似．（P.121定义7）定义：设A,B

都是n阶矩阵，若有可逆矩阵

C

满足CTAC=B，则称矩阵A

和B合同．（P.129定义9）显然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B

即若A

为对称阵，则B

也为对称阵．R(B)=R(A)．经过可逆变换后，二次型f

的矩阵由A

变为与A

合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变．第十九页，共五十页，编辑于2023年，星期一若二次型f经过可逆变换

x=Cy变为标准形，即问题：对于对称阵A，寻找可逆矩阵C，使CTAC

为对角阵,（把对称阵合同对角化）．第二十页，共五十页，编辑于2023年，星期一定义：如果

n阶矩阵A满足ATA=E，即

A−1=AT，则称矩阵A

为正交矩阵，简称正交阵．定理：设

A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使得P−1AP

=PTAP=L，其中L

是以A

的n

个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理7）定理：任给二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），总存在正交变换

x=Py

，使f

化为标准形

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2

其中l1,l2,…,ln

是f

的矩阵A

的特征值．推论：任给二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），总存在可逆变换

x=Cz

，使f(Cz)为规范形．第二十一页，共五十页，编辑于2023年，星期一推论：任给二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），总存在可逆变换

x=Cz

，使f(Cz)为规范形．证明：

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2若R(A)=r，不妨设l1,l2,…,lr

不等于零，lr+1=…=ln=0,令则K

可逆，变换y=Kz把f(Py)化为f(PKz)=(PKz)T

A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTΛKz其中第二十二页，共五十页，编辑于2023年，星期一【例3】求一个正交变换x=Py

，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形．【解】二次型的矩阵根据P.125例12的结果，有正交阵使得于是正交变换x=Py

把二次型化为标准形f=－2y12+y22+y32第二十三页，共五十页，编辑于2023年，星期一如果要把f

化为规范形，令，即可得f

的规范形：f=－z12+z22+z32第二十四页，共五十页，编辑于2023年，星期一

在以下4个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些是不合同矩阵？【例4】【解】这4个方阵的秩都同为3，因为，A与C的正惯性指数同为1，所以A与C合同。B与D的正惯性指数同为2，所以B与D合同。但A与B不合同，B与C不合同。第二十五页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习116】二次型=经正交变换可化为标准形

.解:用配方法第二十六页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习117】求正交变换，将二次型化为标准形，并指出是否为正定二次型解:二次型的矩阵

由

得的特征值为第二十七页，共五十页，编辑于2023年，星期一对于，由

得特征向量

对于，由

得特征向量

第二十八页，共五十页，编辑于2023年，星期一将单位化，得

令，则为正交矩阵，从而经正交变换，将二次型化为标准形

由于的特征值都大于零，故正定.第二十九页，共五十页，编辑于2023年，星期一§6.2

正定二次型和正定矩阵第三十页，共五十页，编辑于2023年，星期一1.正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何，都有成立，则称为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵。第三十一页，共五十页，编辑于2023年，星期一2.半正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何，都有成立，则称为半正定二次型，矩阵A称为半正定矩阵。第三十二页，共五十页，编辑于2023年，星期一3.负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何，都有成立，则称为负定二次型，矩阵A称为负定矩阵。第三十三页，共五十页，编辑于2023年，星期一4.半负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何，都有成立，则称为半负定二次型，矩阵A称为半负定矩阵。第三十四页，共五十页，编辑于2023年，星期一5.不定二次型其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称阵称为不定矩阵。第三十五页，共五十页，编辑于2023年，星期一以n=3为例。

【例6】（1）正定二次型：对应的矩阵（2）半正定二次型：对应的矩阵（3）负定二次型：对应的矩阵第三十六页，共五十页，编辑于2023年，星期一（4）半负定二次型：对应的矩阵（5）不定二次型：对应的矩阵第三十七页，共五十页，编辑于2023年，星期一

问

是不是正定二次型？【例7】解：因为它对应的对称矩阵中的对角元素，所以它不是正定二次型。第三十八页，共五十页，编辑于2023年，星期一定理：n阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵A的n个顺序主子式Dk>0,k=1,2,…，n。第三十九页，共五十页，编辑于2023年，星期一判定是不是正定矩阵。【例8】解：因为A的三个顺序主子式：所以，A是正定矩阵。第四十页，共五十页，编辑于2023年，星期一

问为何值时，以下三元二

次为正定二次型：【例9】解：它是标准二次型。它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数，即得第四十一页，共五十页，编辑于2023年，星期一

问为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例10】解：写出对应的对称矩阵得第四十二页，共五十页，编辑于2023年，星期一定理：矩阵为正定矩阵的充分必要条件是.称为的顺序阶主式，即

…第四十三页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习118】设矩阵A=为正定矩阵，则

的取值范围是_____________

．

【解】

第四十四页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习119】设矩阵A=为正定矩阵，则

的取值范围是_____________

．

【解】

第四十五页，共五十页，编辑于2023年，星期一【练习120】已知二次型