自动控制原理二阶系统时域分析

自动控制原理二阶系统时域分析第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期一第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期一第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期一+-第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期一一、二阶系统数学模型标准形式：自然振荡频率，单位为rad/s阻尼比第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期一标准形式：第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期一闭环特征方程：标准形式：闭环特征根：第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期一单位阶跃输入r(t)=1(t)时，其二阶系统的输出的拉氏变换为显然，随着阻尼比ζ的不同,二阶系统特征根(极点)也不相同，系统的响应形式也不同。以下研究n一定，阻尼比ζ不同时的单位阶跃响应。二、二阶系统单位阶跃响应第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期一1、<0:负阻尼系统××j<-1××j-1<<0t1c(t)0发散振荡两个特征根位于S右半平面，输出响应含有模态，具有正幂指数，动态过程发散振荡或单调发散。第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期一2、=0:无阻尼系统两个特征根为一对共轭纯虚根：s1,2=±jn××j=0t12c(t)0等幅振荡第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期一3、0<<1:欠阻尼系统两个特征根为一对负实部共轭复根：令：，称为有阻尼振荡频率第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期一（1）单位阶跃响应：稳态分量瞬态分量第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期一欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：

a.瞬态部分是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根实部的绝对值ζωn(即σ，特征根实部）的大小,b.振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部)。

c.稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；1c(t)nt0衰减振荡第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期一阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。上升时间tr单位阶跃响应

•即

•得

•此时(2)动态性能指标第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期一单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

峰值时间tp第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期一单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

超调量%第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期一单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。

调节时间ts

欠阻尼二阶系统的一对包络线如图

c(t)t01包络线（=5%时）•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。

解得（=2%时）第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期一例题：系统结构图如图所示，要求系统性能指标σ％＝20％，tp=1s（1）求系统阻尼比，自然振荡频率。（2）确定K与τ的值。（3）求阻尼振荡频率，阻尼角（4）计算上升时间tr和调节时间ts。第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期一闭环传递函数

第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期一4、＝1:临界阻尼系统两个特征根为一对相等负实根××j＝11c(t)t0单调上升过程第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期一5、>1:过阻尼系统两个特征根为一对不相等负实数实根××j>1第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期一1c(t)t0单调上升过程第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期一过阻尼二阶系统性能指标(P84)=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期一例题：设角度随动系统如图所示，T=0.1为伺服电机时间常数，若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts≤1s，问K应取多大？此时上升时间等于多少？解：闭环传递函数为为使系统具有尽量快的响应速度，取=1,2n=1/T=10,n=5rad/s,n2=K/T=10K,K=2.5=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1,T1=0.2,ts=4.75T1=0.95≤1s,

tr=3.5/5=0.7s第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期一0123456789101112nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0•

在0<<1,

越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；

•=0.7，调节时间短，而超调量%<5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。工程希望=0.4～0.8为宜；•在≥1

,

越大，系统响应速度慢，调节时间ts也长。第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期一三、二阶系统的性能改善改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制测速反馈控制第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期一1、比例－微分控制R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期一可见，比例－微分控制不改变开环增益。R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期一可见，比例－微分控制不改变自然振荡频率和开环增益，但增大阻尼比，以抑制振荡，减少超调量。比例－微分控制相当于增加了一个零点，故称为有零点的二阶系统。R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期一特点:

(1)引入比例微分控制，系统阻尼增加，其对振荡的抑制强于闭环零点对振荡的扩大。因此，总体是使超调减弱，改善平稳性；

(2)

闭环零点的出现，加快了系统响应速度，克服了阻尼过大，响应速度慢的缺点。快速性和平稳性均提高。

(3)不影响开环增益，即不影响系统稳态误差，自然振荡频率不变。

第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期一注意：微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不宜采用比例-微分控制。此时，可考虑用测速－反馈控制。第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期一2、测速－反馈控制R(s)(-)C(s)KtS(-)测速－反馈控制可见，开环增益减小。举例第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期一图1-13b函数记录仪原理方块图第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期一闭环传递函数：特点：（1）测速反馈可以使阻尼比增加，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；但不影响系统的自然频率；（2）测速反馈不增加闭环系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的；（3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。R(s)(-)C(s)KtS(-)第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期一例题：设控制系统如图所示，其中（a）为比例控制系统，（b）为测速反馈控制系统，若使系统（b）的阻尼比为=0.5

，求系统参数K，并计算系统（a）和（b）的各项性能指标。解：（1）系统(a)的闭环传递函数第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期一解：（2）系统(b)的闭环传递函数第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期一3-4高阶系统的时域分析第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期一设高阶系统闭环传递函数的一般形式为设此传递函数的零、极点分别为zi(i=1,2,…,m)和si(i=1,2,…,n),则有令系统所有闭环零、极点互不相同,且极点有实数极点和复数极点,零点均为实数零点。当输入单位阶跃函数时,则有一、高阶系统的单位阶跃响应第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期一式中,n=q+2r,q为实极点的个数,r为复数极点的个数。将上式展成部分分式得对上式求拉氏反变换得第三十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期一第四十页，共四十五页，编辑于2023年，星期一单位阶跃函数作用下高阶系统的稳态分量为A0,瞬态分量是一阶和二阶系统瞬态分量的合成。若所有闭环极点均有负的实部，则所有暂态分量趋于零，系统稳定。

(1)高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数sj和ζkωnk决定。如果某极点远离虚轴，那么其相应的瞬态分量持续时间较短，对系统暂态性能的影响就小。第四十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期一

(2)当某极点sj靠某零点zi很近，相应瞬态分量的系数就越小，极端情况下,当sj和zi重合时，对系统的瞬态响应没有影响。第四十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期一偶极子

当极点si与某个零点zj靠得很近时，它们之间的模值很小，那么该极点所对应的系数Ai也就很小，对应暂态分量的幅值亦很小，故该分量对响应的影响可忽略不计。这样的一对相距很近的闭环零极点称为偶极子。工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级时，就可认为这对零极点为偶极子。

偶极子的概念对控制系统的综合校正是很有用的，有意识地在系统中加入适当的零点，可以抵消对系统动态响应过程有不利影响的极点，从而使系统的动态性能得以改善。第四十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期一二、闭环主导极点距离虚轴最近的极点，且其周围无零点，对过渡过程影响较大。判断闭环主导极点的两个条件如下：

(1)在左半s平面上，距离虚轴最近且附近没有其他的闭环极点和零点。

(2)其实部的长度与其他的