自控自动控制理论

自控自动控制理论第一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二稳定性的基本概念(a)(b)ABA图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图(b)就是不稳定的。第二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二稳定性的定义

任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复原平衡状态或在新的状态达到平衡，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。第三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二稳定性分析有以下几种方法：李雅普诺夫稳定分析法特征值判据法代数判据法根轨迹法频率稳定判据法第四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二稳定性的数学描述设线性定常系统微分方程为：稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，因而可以用系统的冲激响应函数来描述，如果冲激响应函数是收敛的，则系统稳定，反之，系统不稳定。第五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二则冲激响应为：式中：为待定常数。如果则系统稳定，反之，系统不稳定。r对共轭复根第六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二下面分析上式：1）若系统最终能够恢复平衡状态，由于有复数根存在，系统输出呈振荡曲线衰减。2）若系统输出按指数曲线衰减。3）若有任一个大于零，当时系统输出系统不稳定。第七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二线性系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的全部根都是负实数或具有负实部。由于特征方程的根是s平面上一点，所以系统稳定的充要条件是系统的所有极点均在s的左半平面第八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定(渐近稳定）。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。第九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二6.1线性系统有界输入有界输出(BIBO)稳定性如果系统对任何一个有界输入（）必然传输一个有界输出，（）则称该系统为BIBO稳定。

G(s)U(s)Y(s)对描述的系统，当系统传递函数的全部极点都具有负实部时，系统的零状态响应是BIBO稳定的。第十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二6.2特征方程与稳定性的关系对线性动态系统，系统的特征方程可表为：对同一系统，系统的传递函数可表为：传递函数的特征方程可表为：第十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二1）如果传递函数分子分母无公因子，则BIBO稳定与渐近稳定等价。2）如果传递函数存在零极点相消，则BIBO稳定不一定是渐近稳定，可能内部存在不稳定现象。（零极点相消是指传递函数的分子分母相消，是输入输出等效的含义，而实际系统的内部结构是消不掉的。）第十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二线性定常连续系统的传递函数，当且仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。外部稳定性判据稳定区不稳定区临界稳定S平面图解表示：第十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二内部稳定性判据线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的根全部位于s平面的左半部。第十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二[例4-6]

设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。[解]

（1）系统的传递函数为：极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。（2）求系统的特征方程：系统不是渐近稳定的。第十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二一、系统的平衡状态平衡状态：对所有时间t，如果满足，称xe为系统的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。6.3Liapunov稳定性及渐近稳定性第十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例：平衡状态为三个说明：1、对于线性定常系统：

A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。

A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。第十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二3、对任意，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。第十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二二、状态向量范数符号称为向量的范数，为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：第十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二三、李雅普诺夫意义下稳定性意义1、李雅普诺夫稳定：

设为动力学系统的一个平衡状态。如果对球域或任意正实数，都可以找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则称平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。

李雅普诺夫稳定几何表示法：第二十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二

设xe为系统的平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。渐近稳定几何表示法：2、渐近稳定第二十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二3、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即：对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。（假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）第二十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二4、不稳定如果对于某一实数，不论取得多么小，由内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出，则称平衡状态xe是不稳定的。说明：虽然不稳定的轨迹超出了，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于外的某个极限环。不稳定几何表示法：第二十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。2）实际系统很难找到一个统一的能量函数。3）虚构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数，根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。李雅普诺夫直接法思路：用能量观点分析稳定性6.4Liapunov直接法第二十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二4）直接法判稳的过程，是要找到一个正定的标量函数，而是负定的，这个系统就是稳定的。李雅普诺夫函数说明：3）李氏函数最简单形式是二次型，P是正定实对称方阵。2）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用直接法判稳时，找到一个李氏函数就可以；1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为(半)负定；第二十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二标量函数V(x)的符号性质1）正定性：当且仅当x=0时，才有；对任意非零x，恒有，则为正定。2）负定性：当仅当x=0时，才有；对任意非零x，恒有，则为负定。3）半正定和半负定：如果对任意，恒有,则V(x)为半正定。第二十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二如果对任意，恒有,则V(X)为半负定。5）不定性：4）(半)正定和(半)负定间的关系：V(x)为正定，则－V(x)为负定；V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X可为正值也可为负值，则V(x)为不定。第二十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二二次型标量函数的符号性质如果，则称P为实对称矩阵。1、二次型函数V(x)：第二十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二1）二次型为正定，或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即：

则P为正定，即V(x)正定。

如果二次型函数V(x)正(负)定性判定：赛尔维斯特判据第二十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二2）二次型为负定，或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；（i为偶数）i=1，2，3，…,n。第三十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二判据1：设系统的状态方程为为其平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。稳定性判据单调递减则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。1）是正定的。2）是负定的。第三十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二

判据2：设系统的状态方程为为其唯一的平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：

1）是正定的；

2）是半负定的；

3）对任意初始时刻时的任意状态，在时，除了在时有外，不恒等于零。则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。说明：恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。非递增第三十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二

判据3：设系统状态方程为：为其平衡状态。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：

1）在原点的某一邻域内是正定的；

2）在同样的邻域内是正定的。则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。第三十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二令，得是系统唯一的平衡状态。2）选取李氏函数选，则正定的

[解]：1）平衡状态3）当，即，得则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。例：设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。第三十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例：设系统方程为：试确定其平衡状态的稳定性。[解]：1）平衡状态令，得是系统唯一的平衡状态。同时有不可能恒为零。2）选李氏函数1：由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。第三十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二选李氏函数2：不定负定特征根选李氏函数3：系统渐近稳定第三十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二[例]系统方程为确定系统平衡状态的稳定性。解：原点为平衡状态。取则系统Liapunov稳定，非渐近稳定。特征根第三十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二讨论：选择二次型函数为李氏函数。目的：将李氏直接法定理来分析线性定常系统的稳定性负定正定由上一节讨论的判据1知道系统渐近稳定，故有以下判据：李雅普诺夫方法在线性系统中的应用：第三十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二且标量函数就是系统的一个李氏函数。判据4：线性连续定常系统：在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：说明：因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取。第三十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二该定理阐述的条件，是充分且必要的。如果除了在时有外，不恒等于零,则由上一节判据2可知，Q可取做半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：第四十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例：

用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。

[解]：1、写出状态空间表达式

第四十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二状态空间描述为：第四十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二2、用李氏第二法判稳（令u=0）1）Q能不能取做半正定？2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围由判据4得：第四十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k>0，且k>0

所以系统稳定的k值范围为0<k<6解得：注意：P为正定实对称矩阵。第四十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二[例]设则有：根据上式有：可解得：第四十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二根据赛尔维斯特法则：P正定，所以系统稳定。李氏函数V第四十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二由前面分析可以看出，特征根方法必须求出闭环传函的所有极点。这对二阶以下的系统是有用的，但是对于三阶以上系统，求解极点一般来说是比较困难的。因此人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接判断。1877年，英国学者劳斯（ROUTH）提出了利用特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。6.5Routh稳定判据第四十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二根据特征方程的系数判断特征根是否为负实部，而不需要解特征方程。虚轴和右半平面视为不稳定。定理：对特征方程系统稳定的必要条件是：特征方程各项系数为正，且不缺项。一、必要条件第四十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二系统特征方程为：上式中所有系数均为实数，并设系统稳定的必要条件分析：因为所有根都在S的左半平面，即r对共轭复根第四十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例1：(1)(2)(3)一项为负，不稳定。满足必要条件，可能稳定。缺项，不稳定。第五十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二Routh稳定判据：系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各项元素均为正。特征方程各项系数为正，且不缺项。特征方程具有正实部根的个数等于Routh表第一列中系数改变符号的次数。二、劳斯判据第五十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二1、列出系统特征方程：上式中所有系数均为实数，并设2、按系统特征方程列写劳斯行列表：第五十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二在进行行列表计算时，为了运算方便，可将一行中各数都乘以一个正数，不影响稳定性判断。第五十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二3、考察行列表若第一列各数均为正数，则系统的所有特征根均在根平面的左半平面，此系统稳定。若第一列中有负数则说明系统不稳定，第一列中符号变化的次数表示右半平面根的个数。第五十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例1：Routh表S4282S3230S20

S100S02

00

第五十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例2S41820S35160S2200S100

S02000第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。第五十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二三、两种特殊情况1、劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为0，其余不为0或没有。这时可以用一个很小的正数来代替这个0，使运算继续下去。2、劳斯行列表中第K行全部为0。说明有对称于原点的根。这时可以建立一个辅助方程继续进行分析，方法是：（a）用K-1行构成辅助多项式，它的次数为偶数。（b）对辅助多项式求导，系数代替K行。继续计算。（c）对于对称于原点的根，可由辅助多项式等于0求得。第五十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二1.Routh表第一列出现零元素例3S5121S4241S300S210S100S0000系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。第五十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二2.Routh表中某一行全为零例4S61694S51540S41540S3S22.5400S13.6000S040000000

41000辅助方程：某一行全为零，说明存在对称于原点的根。系统不稳定第五十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二四、稳定裕度的检验应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即相对稳定性。也可以判断系统是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动S平面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：将上式代入原方程，得到以Z为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕度α。第六十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例：系统特征方程为判断系统是否有根在右半平面，并验有几个根在s=-1的右边。1）劳斯表：故S右半平面无根。2）将s=z-1代入原方程得到：劳斯表：故有一个根在s=-1的右边。第六十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二五、分析参数对稳定性的影响例或则特征方程为：劳斯表：要使系统稳定，则劳斯表第一列应为正数。即有：故系统的稳定临界值为K=30。第六十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例：系统特征方程为求系统稳定T的临界值。要使系统稳定必须有：T必须大于25，系统才稳定。ROUTH表第六十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二对于三阶系统a0s3+a1s2+a2s+a3=0，只要a0,a1,a2,a3>0，a1a2>a0a3，则系统稳定。对于二阶系统a0s2+a1s+a2=0所有系数全为正，稳定.第六十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二[例]+－S3T1T21S2T1+T2kS10S0k0为稳定条件特征方程第六十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二[例]

特征方程：第六十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二6.6复平面上的围线映射复变函数映射概念第六十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二柯西复角原理：

对于复变函数

在S平面上封闭曲线C域内共有P个极点和Z个零点，且封闭曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。当S顺时针沿封闭曲线C变化一周时，函数F(s)在F平面上的轨迹将按顺时针包围原点N=Z–P次。

(极、零点个数考虑重根数，N>0顺时针，N<0逆时针。)第六十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二设则第六十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二1、围线C既不包围零点，也不包围极点第七十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二2、围线C只包围零点第七十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二3、围线C只包围极点4、围线C包围Z个零点，P个极点N=Z-P第七十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二奈氏判据是利用开环幅相特性判断闭环稳定性的图解方法；可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定指标和研究改善系统性能的方法；6.7Nyquist稳定判据第七十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二Nyquist围线和Nyquist图：G(s)H(s)+-闭环传递函数分母DC(s)闭环特征多项式D0(s)开环特征多项式开环传递函数闭环传递函数第七十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二利用柯西复角原理判稳定的思路：(1)使F(s)与系统传递函数相联系(2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面）(3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系F(s)的零点就是系统的闭环极点；F(s)的极点就是系统的开环极点；第七十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二(1)沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为Nyquist围线CwjsS平面ImF平面C-jjReNyquist图1取第七十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二Nyquist围线在G0(s)平面上的映射就是系统在G0(s)平面上的Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。F(s)平面上的原点即G0(s)平面上的(-1，j0)点。第七十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二柯西复角原理：对于复变函数F(s)=1+G0(s)，当S平面上沿C形围线顺时针变化一周，则在G0(s)平面上顺时针包围(-1,j0)点

次。其中：

为G0(s)在右半平面的极点，也是F(s)=1+G0(s)的极点;为F(s)=1+G0(s)在右半平面的零点，也是系统特征方程的根;N为奈氏曲线包围(-1,j0)点的圈数。N>0为顺时针，N<0为逆时针。第七十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二Nyquist稳定判据(在G0(s)平面上):1.若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist图不包围(-1,j0)点。（）2.若系统开环不稳定，闭环系统稳定的充要条件是N=-P0

(

)推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不稳定。

(,若N≥1，

不会为负值，则必有

≥1)第七十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二【例】：已知开环传递函数,判断系统稳定性.Nyquist图画法(示意图)(1)特殊点(2)趋势由由单调递减；由单调递减。第八十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二矢端轨迹（Nyquist图)负频部分(与正频对称)Nyquist判据(已知N,求)

=0(由G0(s)表达式)N＝0(由Nyquist图)因为

,所以

=0，故系统稳定

第八十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二单调变化【例】：画Nyquist图：-7.9(-1,j0)第八十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二与实轴有交点，为－7.9(分母有理化，按虚实部讨论)Nyquist判据：N＝2，P0=0，故=2。有两个极点在右半平面，系统不稳定。第八十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二【例】Nyquist判据：N=0，P0=0，所以=0系统稳定第八十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二增大K；(-1,j0)点可能会位于d点与c点之间，奈氏曲线对(-1,j0)顺时针包围2次，N=2，故闭环系统不稳定（由于P0=0）；减小K，(-1,j0)点可能位于a点与b点之间，N=2，闭环系统仍不稳定；再减小K，使(-1,j0)点位于a点的左边，闭环则是稳定的。当(-1,j0)点位于b点与c点之间，奈氏曲线不包围(-1,j0)，N=0，故闭环系统稳定（由于P0=0）。第八十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二虚轴上存在极点的Nyquist判据在原点附近令，当从时：第八十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二在原点附近令当从时在S平面原点有两重极点时第八十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二【例】：，积分环节r=1。

单调变化从从从问题：N＝?

1）2）第八十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二A:B:C:ABC第八十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二在无穷远处顺时针绕行角N＝0，P0=0所以

=0系统稳定。第九十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二【例】，积分环节r=2.单调递减无穷远处顺时针绕行N=2，P0=0，所以

=2系统不稳定。第九十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二小结：积分环节数

r=1在无穷远处顺时针绕行

r=2在无穷远处顺时针绕行

r=3在无穷远处顺时针绕行

Nyquist判据：已知开环极点数

P0

积分环节数

r

Nyquist图绕(-1,j0)点

N求闭环极点数

意味必须已知系统传递函数第九十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二[例]

已知P0=0，r=3判断系统的稳定性。N=0

所以

=0系统稳定。第九十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二例4,绘制如下系统的奈氏曲线，并分析其闭环系统的稳定性。

解:（1）奈氏曲线的起点和终点（2）与负实轴的交点第九十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二若闭环系统稳定总结

当时，奈氏曲线包围（-1，j0）点，闭环不稳定。当时，为临界稳定；当时，奈氏曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定；第九十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二小结：奈氏判据判稳的要点1）判断开环不稳定极点个数。2）画出开环系统的奈氏曲线。3）对于在虚轴上有开环极点的情况补全奈氏图,

原则是:由0-→0+顺时针方向补1800*r。4）判断是否对(-1,j0)点包围。5）根据(-1,j0)点到奈氏曲线的向量的相角变化量,

判断是顺时针包围还是逆时针包围.如果包围,

包围几圈。第九十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二(1)稳定裕量概念只适合于开环稳定的系统。(2)稳定裕量概念判系统稳定基于Nyquist判据。6.8稳定裕量

相位裕量

幅值裕量系统稳定条件第九十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二相位裕量幅值裕量系统不稳定第九十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二相位裕量幅值裕量系统临界稳定-1ImReg第九十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二相位裕量、幅值裕量与谐振峰值的关系使谐振峰值限定在允许值M以内的充分必要条件是：

Nyquist图位于等M圆之外。第一百页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二第一百零一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二最小允许幅值裕量最小允许相位裕量第一百零二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二1.Nyquist图和Bode图之间的对应关系1）平面上以原点为圆心的单位圆,对应于对数幅频特性中的零分贝线。2）平面上的负实轴，对应于对数相频特性图上的-180o线。6.9Bode图上的稳定性分析第一百零三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二（1）若对数幅频曲线穿越零分贝线时的相角大于-1800，系统稳定。反之，系统不稳定。（2）若相频曲线穿越-1800线时的对数幅频特性的值为负则系统稳定。反之，系统不稳定。此时的对数幅频特性值的负值即为幅值裕量。2.对数频域稳定判据:第一百零四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二第一百零五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二第一百零六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二第一百零七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二一个系统如果它的开环传递函数的全部零极点都位于S平面的左半平面或虚轴上，则称此系统为最小相位系统幅频特性相同的系统中最小相位系统的相位变化最小。幅频特性确定后，其对应的最小相位系统是唯一的。例最小相位系统第一百零八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二T1＝10T2第一百零九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二T2＝10T1第一百一十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二

对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。-20dB/dec————-900-40dB/dec————-1800-60dB/dec————-2700要使系统稳定，并有足够稳定裕量，应使L(ω)以-20dB/dec斜率穿越0dB线，并保持ωc前后有一定宽度(10倍频程)。Bode定理第一百一十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二以－20dB/dec斜率穿越0dB线，系统稳定。以－40dB/dec斜率穿越0dB线，系统可能稳定。以－60dB/dec斜率穿越0dB线，系统不稳定。第一百一十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期二开环系统频率特性与闭环系统性能的关系一、频域性能指标：

1、开环频域性能指标2、闭环频域性能指标谐振峰值M