第八讲无穷级数课程加持续

第八讲无穷级数2009-2022数—4445数三4044441、对于级数un¥limun0,¥

2

un，

¥¥~u¥¥~uv同敛散

n

3rnfi

un

（或r= ¥

¥则lim

¥，且un

都发散。nfi

n=1

注：对于任意项级数un，若

值判别法判定的，则un¥4、几何级数aqn-¥ 在q<1时收敛，且aqn-1 当

1

（或

nlnp p1p£1¥6、交错级 (-1)n1¥npp0=1收敛，当p£0时发散；0p£1时条件收敛；p1时绝对收敛。¥1、若limn¥fi

0un发散；否则进一步判断；2、若un为正项级数，先化简unn1中含有n

nalnp

),p级数（p级数）un

中含有形如af(n 3un2判断un

¥

收敛，则un绝对收敛；¥若un发散，则看un 若是，用莱布尼兹判别法判断un2n+¥ ¥n=1n+2

n分析un

2

2 1+n2 ¥nn数学一：判断级数敛散性 ¥nnn 1+n2¥

( n+

n-

¥¥

(1-cos1n3x¥1x¥

1+x1x

2：0< dx<2

xdx 1+

3 3nn=1(a+n

(a>1nnnfi

=i+¥ =aa+n35¥¥

=anfi¥

(n+

1)n ¥6¥

nln

(p>n¥ ¥

n-ln¥

pp0)的敛散性aan根据比值判别法，因为nfi

nfi

(n+1)

=aa

¥ nn否收敛？并说明理由

(-1)nann

n=1

1

记aliman，则a0¥¥10（041）an limnan=0

an¥¥

收敛¥n（B）若存在非零常数ln¥

an

发散

a收敛，则lim =0n

nfi

an发散,则存在非零常数l，使得lim

若u

n

wn£un£vn，且wnvn都收敛，则un必收敛 ¥ 若u(-1)nu必收敛nn n

p12、设

=

¥求¥

1(a

+an+2)

试证对任意l> ¥ln=1¥l13、limn!nfi¥nn

nfi

.(n!)2 ¥¥¥¥x¥n=0¥

=1-x

¥¥

(-1)

x

=1+x2n=0¥

ax

=1-x2x2n-

n=0

(-1)n-n1

(2n-1)!

=sinx;x2xn(-1)n=0¥

(2n)!xn

=cosx;(-1)n

=ln(1+x).n

n+¥

(函数项级数un

nfi

un(

（rxlim¥

un(x)¥则unxx˛Rrx¥

a˛Rr(a1且un(a)收敛a

nn

¥

（或r=lim

a(x-x

的收敛半径nfi¥

nfi

R=r，收敛区间为(x0-R,x0+R)，收敛域为(x0-R,x0+ 收敛端点¥n¥n

¥(-

n=0¥

n解题思路：n

=-ln(1-x),x˛[-n+n+

¥(-

2¥

=

1-

n=0(2n)!

x3n+x3n+x3n-¥¥1.求

x3n-

的收敛域【分析】由比值判别法nfi

=un(x)

=1x38¥(x-2、求幂级数

n

的收敛域

=lim(n+1)

1R1nfi

nfi

n¥¥3.求

n

nn

nfinfi nfi

n=n

=1R=

幂级数的收敛域为(-¥n4、ax-n

x=0处收敛,x2处发散 ¥(x- 例5、已知幂级数 在x=-2处条件收敛,则n(x- xln12

(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)必发散；(D)a确定¥n2+2n+6.求幂级数

xn的收敛域及和函数

n+1¥¥

4n2-

¥¥

=1，a1=0，an+1

)an)an

)(n=1,2,

Sx)为幂级数an

的和函数（I

1n的收敛半径不小于1n

（II>证明(1x)SxxSx)0x˛(-1,1Sx)的表达式【解I）因为a=1， =0， = (na+ )，所以0£

£1 ¥

¥nn

a

的收敛半径.当|x|1时，因为|ax

nn

¥nn

绝对收敛.(-1,1)˝(-R,RR1

n（IISx)naxn-1(n xnn

(1-x)S(x)-xS(x)=(n+

xn-(n+

-a

n¥ n =a+(n+ xn-naxn- n

-na-

]xn n=1-

e-解微分方程(1-x)S(x)-xS(x)=0得S(x)= .由S(0)=a =1得C=1，故S(x) 1- 1- 将f(x)=xarctanx-

ln(1+x)=x-

, (-1<x£

x2n\ln(1+x2)=x2 +

+,(-1£xnarctanx

x = 1+t2dt=0=

n=0

(-1)nt2n¥

1)n

10.fx)arctan11-

x的幂级数¥( (x)

1+

1+

11、fx)

1+5x+

x2的幂级数

¥¥

的和¥¥13、

1

的和¥n=2¥ = ¥ = S(x)=

=1( -x )=x -1x (x„0) 2n=2n- 2xn=2n+¥