2019-2020高考数学模拟试题含答案

2019-2020高考数学模拟试题含答案一、选择题.一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为()TOC\o"1-5"\h\zA.10组 B.9组 C.8组 D.7组.已知向量a,b满足同=\2,Ib1=1,且b+a卜2，则向量a与b的夹角的余弦值为()\o"CurrentDocument"A <2 D22 2<2 2A. 2 B. 3 C. D. 4.设双曲线C:02-X=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为勺，F2，过F1的直线分别交双曲线左右两支于点M,N，连结MF,NF2，若叱.底=0,|呵|二|可|,则双曲线C的离心率为( ).A.<2 B.<3 C. 5 D.v"6.设i为虚数单位，则(x+1)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 x2 y2.已知P为双曲线C:——y-=1(a>0,b>0)上一点，F,F为双曲线C的左、右焦

a2 b2 12点，若|PF1I=F1Fj，且直线pf2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为A.yA.y二±4x

33b.y=±-x4c.y=±-x.若i(x+yi)=3+4i,x,ygR,则复数x+yi的模是()234 D234 D.5.若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是()A.(-2,2) B.(—s，—2)u(2，+s) C.(-2,2]D.(-s，2]8.已知函数f(x)=(x-3)ex+a(2lnx-x+1)在(L+s)上有两个极值点，且f(x)在调递增，则实数a的取值范围是()A.(e,+s) B.(e,2e2)C.(2e2,+s) D.(e,2e2)U(2e2,+s).已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()H-4—H2一H-4—H2一if；WH下制视图D.84cm3A.108cm3 B.100cm3 CD.84cm3.渐近线方程为入土y=0的双曲线的离心率是（）1<T D.2.若a>0,b>0,贝1」“〃+b<4”是“ab<4”的A.充分不必要条件 8.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件.已知△ABC为等边三角形，AB=2，设p,Q满足AP=，AB,AQ=(1—九)AC(XeR)，若BQ•CP=—3，则X=()21A.21±y'21A.21±y'2B.——2C.喑D.3±2<2

-2-二、填空题.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，至“处时测得公路北侧一山顶D在西偏北”的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为3°\则此山的高度1c口=m..某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.

[2x-y"15.已知实数x,y满足1X+2y<4，则z=3x15.已知实数x,y满足1.已知sina+cosP=1,cosa+sinP=0，贝|sin（a+。）.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6,则应从一年级本科生中抽取 名学生..在极坐标系中，直线Pcose+psin0=a(a>0)与圆p=2cos0相切，则•19.已知正三棱锥•19.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3,外接球的表面积为16兀，则正三棱锥P-ABC的体积为.兀..如图，已知P是半径为2,圆心角为一的一段圆弧AB上一点，AB=2BC,则3PC•PA的最小值为._____pJTzT RC三、解答题.已知椭圆上+:=1(a>b>0)的离心率为玄，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点a2b2 3为顶点的三角形的面积为2<2.(1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为x.■?，求直线l的方程..某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.G)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率;

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望..已知等差数列｛"J满足：a1=2，且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)记Sn为数列｛an｝的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由..已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程.(2)当ZABC=60。时，求菱形ABCD面积的最大值.25.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；(2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A,B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对A,B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料?参考数据：苫y=96Ii=1i=i=1Z(x-x)(y-y)Z(xy)-nxyii其中b=ii其中b=i=i__ Z(x-x)2

ii=1八参考公式：回归直线方程y=bx+a,Z-X2-2-nx2ii=1【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题B解析：B【解析】由题意知，（140-51）+10=8.9，所以分为9组较为恰当，故选B.D解析：D【解析】【分析】—►_1 a-b根据平方运算可求得a-b=2，利用c°s<a,b>=函求得结果.【详解】由题意可知：b+a2=b2+2a•b+a2=3+2a-b=4，解得：a-b=1aaa-b1 \：’2..cos<a,b>=—=-：=——=—ab\224本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积B解析：B【解析】【分析】本道题设IMF|=x,利用双曲线性质，计算x,结合余弦定理，计算离心率，即可.2【详解】结合题意可知,设IMF2I=x,则|"|=-,|MN|=贬x,则结合双曲线的性质可得,I哽I-IMF1I=2a,IMF11+IMNlT"I=2a代入，解得x=2J2a，所以|里I=2a+2J2a,|”|二2虎a，/F1NF2=450对三角形FlNF2运用余弦定理,得到一(2c»=2Qa+22aa)22aa)•cos450,解得e=—=<3a故选B.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x,即可，难度偏难.A解析：A【解析】试题分析：二项式r-的展开式的通项为।CN卡，令口14,则，•L故展开式中含”的项为IS，」，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.二项式rT】「可以写为仃-</,则其通项为口尸’广，则含J的项为W1”.A解析：A【解析】【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得户勺|=F；Fj=2c,又直线pf2与以C的实轴为直径的圆相切，可得IMFJ=b，对/OF2M在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b=a+c,联立c2=a2+b2，即可求得-=4，问题得解.a3【详解】依据题意作出图象，如下：

又直线PF又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，所以OM1PF2,所以|M£j=Cc2-a2=b由双曲线定义可得：PF2-%=2a，所以PF2=2c+2a，所以cos/OFM2b_(2c>+(2a+2c>-(2c>c 2x2cx(2a+2所以cos/OFM2整理得：2b=a+c，即：2b一a=cb4将c=2b-a代入c2=a2+b2，整理得：—二:，a3b 4所以C的渐近线方程为J=+-x=±xa 3故选A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题.D解析：D【解析】y=-3试题分析：根据题意可知xi-y=3+4i,所以有｛ 4,故所给的复数的模该为5,故x=4选D.考点：复数相等，复数的模.C解析：C【解析】由题意，不等式ax2+2ax—4<2x2+4x，可化为(a—2)x2+2(a—2)x—4<0,当a—2=0,即a=2时，不等式恒成立，符合题意；[a—2<0当a-2丰0时，要使不等式恒成立，需1人-..,A=4。a-2)2+4x4(a-2)<0解得-2<a<2，综上所述，所以a的取值范围为(-2,2],故选C.C解析：C【解析】【分析】xex—a求得函数的导数f'(x)=(x-2)•( )，根据函数fVxJ在(L+8)上有两个极值点，x转化为xex-a=0在(L+8)上有不等于2的解，令g(x)=xex,利用奥数求得函数的单调性，得到a>g(1)=e且a丰g(2)=2e2，又由f(x)在(1,2)上单调递增，得到f((x)>0在(1,2)上恒成立，进而得到a>xex在(1,2)上恒成立，借助函数g(x)=xex在(L+8)为单调递增函数，求得a>g(2)=2e2，即可得到答案.【详解】由题意，函数f(x)=(x-3)ex+a(2lnx-x+1),一 2 a xex—a可得f(x)=ex+(x-3)ex+a(--1)=(x-2)(ex--)=(x-2)•( ),x x x又由函数f(x)在(1,+8)上有两个极值点，则f'(x)=0，即(x-2)•(xex^^-)=0在(1,+8)上有两解，x即xex-a=0在在(L+8)上有不等于2的解，令g(x)=xex，则g，(x)=(x+1)ex>0,(x>1),所以函数g(x)=xex在(1,+8)为单调递增函数，所以a>g(1)=e且a丰g(2)=2e2,又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f'(x)>0在(1,2)上恒成立，xex—a即(x-2)•( )>0在(1,2)上恒成立，即xex-a<0在(1,2)上恒成立，x即a>xex在(1,2)上恒成立，又由函数g(x)=xex在(L+8)为单调递增函数，所以a>g(2)=2e2,综上所述，可得实数a的取值范围是a>2e2，即ae（2e2,+8），故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.B解析：B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥（长方体的一个角）.据此即可得出体积.解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥（长方体的一个角）.・••该几何体的体积V=6x6x3-7：X-tX4-3=100.故选B.考点：由三视图求面积、体积.C解析：C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a=b，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x土丫=0的双曲线，可得a=b，所以c=22a则该双曲线的离心率为e=-=V2,a故选C.【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求部分考生易出现理解性错误..A解析：A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取db的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当a>0,b>0时，a+b>2海，则当a+b<4时，有2j法<a+b<4，解得ab<4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab<4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b<4”是“ab<4”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果..A解析：A【解析】【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ=BA+AQ，CP=CA+AP，再根据向量的数量积运算，建立关于九的方程，可得选项.【详解】・・・BQ=BA+AQ,CP=CA+AP,.・・BQ-CP=BBA+AQ），CC++AP）=AB-AC-AB-AP-AC-AQ+AQ-AP=AB•AC—九AB2—（1—九）AC2+九（1—九）AB.AC二2—4九一4（1—九）+2九（1—九）二—2九2+2九一2=-3,,九二12 2.故选：A.二、填空题13.1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用解析：I。。'/【解析】一味八工l上叩、几rb〜A4月厂+/CIS=30.Z^ABC-105 .rl_^ZF, —.试题分析:由题设可知在 -也 ，由此可得一…一一-，由CB_600正弦定理可得工皿3：= 如■:解之得再一二正，又因为一三二二3：,所以「二二C三⑶i3'二二；而,应填LW.考点：正弦定理及运用.18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18【解析】300应从丙种型号的产品中抽取60*1000=18件，故答案为18.点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即(：Ni=n：N.6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线解析：6【解析】【分析】3z一〃一八3z,、画出不等式组表示的可行域，由z=3x—2y可得y=-x--，平移直线y=-x--，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z由z=3x-2y可得y=—x-—3z 3z平移直线y=5x_?，结合图形可得，当直线＞=5x-5经过可行域内的点a时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值.由题意得A点坐标为(2,0),zmin=3义2=6即z=3%—2y的最小值是6.故答案为6.【点睛】求目标函数z=以+by（ab丰0）的最值时，可将函数z=a%+by转化为直线的斜截式:TOC\o"1-5"\h\za z zy=-7%+7，通过求直线的纵截距7的最值间接求出z的最值.解题时要注意：①当b b bz z zb>0时，截距7取最大值时，z也取最大值；截距不取最小值时，z也取最小值；②当b bz zb<0时，截距不取最大值时，z取最小值；截距;取最小值时，z取最大值.b b.【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为解析：二【解析】【详解】TOC\o"1-5"\h\z因为始一一 .,所以内- ■.」••，■:一・I,①因为;m 11 ',所以一■-ii, -''''''」，②①十②得十；। -i.■■■■-I,即二--'।-I,解得・♦」-一" ；,故本题正确答案为二.60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】•・•该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6・・・应从一年级本科生中抽取学生人解析：60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】二•该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,・•・应从一年级本科生中抽取学生人数为：300义4 =60.4+5+5+6故答案为60.18.【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆

心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化解析：1+，於【解析】【分析】根据P2=x2+w，X=pcos/y=Psin0将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出。.【详解】因为p2=x2+y2,x=pcos0,y=psin0，由pcos0+psin0=a(a>0)，得x+y=a(a>0)，由p=2cos0，得p2=2pcos0，即x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1，因为直线与圆相切，所以=1".a=1±72,,:a>0,「.a=1+<2.因为直线与圆相切，所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x=Pcos0及y=Psin0直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如pcos0,psin0,p2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以（或同除以）p及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验19.或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径解析:苧或亨【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况【详解】正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为1m，根据公式得到16兀=4兀r2nr=2,根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为H点，则OP=r=2,0A=r=2,OH=h—2，底面三角形的外接圆半径为AH，根据正弦定理得到-4;-=2v3，故得到外接圆半径为、3sin600在三角形OAH中根据勾股定理得到(h-2)2+3=4nh=1或3三棱锥的体积为：3xhx2亦代入数据得到1x1x3x3x岂x1=3^3.或者1x3x3x3x亘x1=9<3.3 22 4 3 224【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点)，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.20.5-【解析】【分析】设圆心为OAB中点为D先求出再求PM的最小值得解【详解】设圆心为OAB中点为D由题得取AC中点M由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM最小当圆弧AB的圆心与点PM共线时PM最解析：5-2v13【解析】9=PM2-"再求PM的最小【分析】设圆心为0AB中点为D,先求出定•丽=p9=PM2-"再求PM的最小【详解】设圆心为O,AB中点为D,.兀由题得AB=2•2•sin—=2,「.AC=3.6取AC中点M,由题得1取AC中点M,由题得1、PC-PA=AC'一L 1一c 9两方程平方相减得PC•PA=PM2-4AC2=PM2-4

要使PC•PA取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.止匕时DM=1,「.DM=2所以PM有最小值为2-也,2代入求得PC•止匕时DM=1,「.DM=2所以PM有最小值为2-也,2代入求得PC•PA的最小值为5-2<13.故答案为5-2J1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题X2y221.(1)—+—=1；(2)y=x—2或y=-x+2.62【解析】【分析】程；根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a2=b2+c2,即可求椭圆C的方联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出％+X2及'JX2，结合弦的长度为即可求斜率k的值，从而求得直线方程.【详解】解：(1)由椭圆=+==1(a>b>0)的离心率为史,

a2b2 3加，而3后得c=——a,b=——a.33由S=1-2c-b=立a2=2<2得a=<6,b=豆，所以椭圆方程为与42 3 6二1.(2)解：设直线y=k(x-2),A(x,y),B(x,y),AB中点M(X0,y0).y=k(x-2)( )7 得V1+3k2)X2-12k2X+12k2-6=0,X2+3y2-6=0 ，12k21212k212k2—6X+X= ,XX二 1 2 1+3k2 12 1+3k2, _ _ _ _2.|AB|=J1+k2•|x-X|=—所以X=所以X=06k21+3k2点M到直线点M到直线x=1的距离为d=X0-1|=6k21+3k2AB由以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为、；5得AB2，所以解得k解得k=±1,【点睛】所以直线I的方程为y=元-2或y=-元+2.本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出\+x2及XJX2，代入弦长公式|AB|=<1+1?、+xJ-4x1x2列方程求解，还考查了圆的弦长计算，，考查学生的计算能力，属于中档题.(1)1； (2)E(X)=1.【解析】【分析】(1)可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；(2)由题意知随机变量X的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值.【详解】…、C1-C1+C2(1)由已知有P(A)二———3C2101所以事件A的发生的概率为-；(2)随机变量X的所有可能的取值为0,1,2；…小C2+C2+C2 4 C1-C1+C1-C1 7P(X—0)- 3 4-—4;P(X-1)=T——3 3——4二一•C2 15, 1 7 C2 15;10 10/ c、 C1-C1 4P(X-2)-~~4——・C2 15；10所以随机变量X的分布列为：X012P4157154154 7^4.数学期望为EX0x+"+2x L【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题.(1)通项公式为an=2或an=4n-2；(2)当an=2时，不存在满足题意的正整数n；当a=4n-2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.n【解析】【详解】(1)依题意，2,2+d,2+4d成等比数列，故有(2+d》=2(2+4d),/.d2—4d=0，解得d=4或d=0.a=2+（n-1）4=4n-2或a=2.(2)当an=2时，不存在满足题意的正整数nn2+（4n-2）］S=——2 =2n2.令2n2>60n+800，即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10（舍去），二最小正整数n=41.（1）x+J+2=0（2）4<3【解析】【分析】【详解】I）由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC±BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.x2+3y2=4