第5章-频率特性解析课件

1第五章频率响应法

5.1频率特性

5.2典型环节的频率特性

5.3控制系统的频率特性

5.4奈奎斯特稳定判据

5.5稳定裕量

5.6闭环频率特性

5.7

频率特性分析第五章频率响应法21频率法的思路是：建立频率特性→作为一种数模→相应的系统分析方法→频率指标→利用与时域指标的对应关系→转换成时域指标2频率法的特点：

(1)应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究闭环稳定性，而不必解特征方程的根；

(2)系统的频率特性可用实验方法测出；

(3)用频率法设计系统，可使噪声忽略或达到规定的程度；

(4)频率法可用某些非线性系统。35-1频率特性5.1.1频率特性的基本概念解：RC电路的微分方程为

式中，T=RC。网络的传函为：RC

r(t)c(t)

例：

RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asint时，c(t)的稳态输出为多少？4如果输入为正弦电压r(t)=Asint，c(t)的稳态输出：5css(t)1T6tr(t)css(t)tr(t)t0css(t)t07由此可见：①网络的稳态输出电压仍然是正弦电压，其频率和输入电压频率相同。②稳态输出电压幅值是输入电压幅值，是频率的函数，称为RC网络的幅频特性。③稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了arctanT，是频率的函数，称为RC网络的相频特性。④

上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输出电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律，称为网络的频率特性。8⑤

即把传函中的s用j

代替就可得到频率特性。——幅频特性——相频特性css(t)=A

G(j)

sin[t+G(j)]

下面证明对图所示的线性定常系统，传递函数与频率特性的关系，。G(s)c(t)r(t)9r(t)=r0

cos(t+)假设=0，则

r(t)=r0

costC(s)=G(s)R(s)10111

频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性，用G(j)

表示。物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力同频，变幅，相移。2幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A()表示。

A()=G(j)3相频特性：稳态输出与输入相位差，用()表示。()=G(j)4

实频特性：

G(j)

的实部，用Re()表示。

5

虚频特性：

G(j)的虚部，用Im()表示。G(j)=A()ej()=Re()+jIm()4.1.2定义12

特点是：把频率看成参变量，当从0时，将幅频特性和相频特性表示在同一个复数平面上。前面讨论的RC电路的极坐标图。5.1.3几何表示

1.极坐标图（幅相频率特性曲线）=1

=

=0ImRe0

2.

伯德图（对数频率特性曲线）包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。横坐标表示频率，按对数分度，单位是rad/s。G(j)10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.95410113横轴按频率的对数lg标尺刻度，但标出的是频率本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。横轴压缩了高频段，扩展了低频段。在轴上，对应于频率每一倍变化，称为一倍频程，例如从1到2，2到4，3到6，10到20等的范围都是一倍频程；=1=1023456789每变化十倍，称为十倍频程（dec)，例如从1到10，2到20，10到100等的范围都是十倍频程；所有的十倍频程在轴上对应的长度都相等。20304014

对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是dB(分贝)。

L()=20lgA()

相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。()=∠G(j)

15L()/dB()/(°)90°90°2020(rad/s)(rad/s)

123456102030100

12345610203010016下图是

RC网络G(j)=1/(1+jT)，T=0.5时对应的伯德图。

L()/dB0202-20dB/dec-90°()/(°)0°17-90°()/(°)0°5-2典型环节的频率特性

1.比例环节其传递函数为

G(s)=K

频率特性为

G(j

)=K

（1）极坐标图

A()=K()=

0

（2）伯德图

L(

)=20lgK

()=

0ImRe0K20lgKL()/dB020()=

018（2）伯德图

L()=20lgA()=20lg

()=90ImRe0=0=（1）极坐标图

()=

9090°()/(°)0°20dB/decL()/dB0201102积分环节频率特性193微分环节频率特性G(j)=j

（1）极坐标图

A()=

()=90

（2）伯德图

L()=20lgA()=20lg

()=90

由于微分环节与积分环节的传递函数互为倒数，L()和

()

仅相差一个符号。因此，伯德图是对称于轴的。ImRe0=0=90°()/(°)0°L()/dB02010120dB/dec204惯性环节频率特性为（1）极坐标图实部与虚部表达式为：其模角表达式为：ImRe0

=

=0121（2）伯德图对数幅频特性

因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于T=1或

=1/T。频率1/T

称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/TL()〔1〕当

1/T时，L()

20lg1=020dB/dec〔2〕当

1/T时，L()

20lgT22如图可见，交接频率的地方误差最大，约3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB用渐近线近似表示L()，必然存在误差ΔL()，ΔL()可按以下公式计算：

ΔL()=L()La()式中，L()表示准确值，La()表示近似值，有23相频特性为：()=arctanT

T=0()=0°T=0.3()=16.7°T=0.8()=38.7°

L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0T=1()=45°T

()=90°245一阶微分环节频率特性G(j)=1+jT

（1）极坐标图（2)伯德图幅频特性相频特性为

()=arctanT

幅频特性为相频特性()=arctanT

ImRe0=0=90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec25(1)极坐标图幅频特性为相频特性为

根据零-极点分布图——绘制极坐标图6振荡环节频率特性为261

A

BPj2

G(j0)=10G(jn)=1/290G(j)=0180

0270ReIm1=0值小值大n28rMrA()

由图可见，幅频特性的最大值随

减小而增大其值可能大于1。可以求得在系统参数所对应的条件下，在某一频率

=r（谐振频率）处振荡环节会产生谐振峰值Mr

。在产生谐振峰值处，必有

29可以看出：

1）

>0.707，没有峰值，A()单调衰减；

2）=0.707，Mr=1，r=0，这正是幅频特性曲线的初始点；

3）<0.707，Mr>1，

r>0，幅频A()出现峰值。而且越小，峰值Mr及谐振频率r越高；

4）=0，峰值Mr趋于无穷，谐振频率r趋于n。这表明外加正弦信号的频率和自然振荡频率相同，引起环节的共振。环节处于临界稳定的状态。峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。

对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比

小，这和时域分析法一章所得结论是一致的。30根据上式可以作出两条渐近线。当

<<n时，L()0；当

>>n时，L()20lg2

/n2

=40lg

/n

。

（2）伯德图幅频特性L()n

40dB/dec31误差计算公式是：

这是一条斜率为40dB/dec直线，和零分贝线交于

=n的地方。故振荡环节的交接频率为n。32下图为L(,)

的曲线0.1

0.20.41246810/n201612840-4-8

=0.05=10.10.20.30.40.50.60.833相频特性

=0(0)=0

=n(n)=90

()=180

由于系统阻尼比取值不同，(

)在

=n邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。340.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,235ImRe0=01=7二阶微分环节其频率为特性

由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。极坐标图为：36由于(

)随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性ImRe0大()/(°)0°L()/dB0小=08延迟环节其频率特性为：G(j)=ejT

幅值为：A()=ejT=1

相角为：()=

(rad)=57.3()由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。375.3控制系统的频率特性

5.3.1开环极坐标图

1.用幅频特性和相频特性计算做图设开环频率特性为：式中

分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。38

解:RC超前网络的传函为()=90

arctanT

例5-1

如图所示RC超前网络,要求绘制它的幅相曲线。式中T=RC。其频率特性为RC

r(t)c(t)395.0

0.98211.32.0

0.895301.0

0.70745幅相曲线如图ImRe0T=125

T=

T=01TA()()(°)0

0900.1

0.099584.30.3

0.28873.3∞

10()=90

arctanT402.按实频特性和虚频特性计算作图把开环频率特性按实部和虚部分开，然后再用一系列值代入，计算相应的实频和虚频值,绘制出开环幅相曲线。

3.由极点—零点分布图绘制

由开环传递函数零极点形式先标出每一零点和极点，当s=j时，可作出相应零点或极点对应的矢量(频率特性)，根据所对应的值，计算出有关矢量的长度和角度，就能求得频率特性。

例5-2

由极点—零点分布图求例1中的频率特性解：41G(j0)=090G(j1/T)=0.70745G(j2/T)=0.89530G(j5/T)=0.98211.3

G(j)=100

j-1/Tj+1/TImRe0=1/T2/T5/T

=424.开环极坐标图的近似绘制

(1)根据开环零-极点图确定起点(=0)：精确求出A(0)，(0)；

(2)确定终点(=)：求出A()，()；

(3)确定曲线与坐标轴的交点：G(j)=Re()+jIm()

与实轴的交点：令Im()=0求出x

代入Re(x)(4)由起点出发，绘制曲线的大致形状。试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性

例5-3

已知系统开环传函为43（1）Gk(j0)=k0

（2）Gk(j)=0180（3）当增加时，()是单调减的，从0变化到180。0j-1/T1-1/T244ImRe0=0幅相曲线大致形状如图:45例5-4

已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性

（1）Gk(j0)=90

（2）Gk(j)=0180（3）与实轴的交点:0j-1j+1

当

=0时，实部函数有渐近线为－1，可以先作出渐近线。通过分析实部和虚部函数，可知与坐标轴无交点。46开环概略极坐标图如下所示：ImRe0=0→－147例5-5

已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。解：根据零-极点分布图0j-1-2-0.51）Gk(j0)=180

2）Gk(j)=02703）与实轴的交点：令Im()=0x=0.707Re(x)=2.67k48ImRe0=0→－2.67k开环概略极坐标图如下所示：495.3.2

开环伯德图

开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为说明：

Lk()和k()分别都是各典型环节的叠加。

例5-6

已知一单位反馈系统，其开环传函为要求绘制伯德图。50L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec

解：开环传函由以下三个典型环节组成：①比例环节10②积分环节1/s③惯性环节1/(0.2s+1)51分析开环对数幅频曲线，有下列特点：（1）最左端直线的斜率为20dB/dec，这一斜率完全由G(s)的积分环节数决定；（2）

=1时，曲线的分贝值等于20lgk；（3）在惯性环节交接频率5(rad/s)处，斜率从20dB/dec变为40dB/dec。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec52一般的近似对数幅频曲线特点：(1)最左端直线的斜率为20NdB/dec，N是积分环节个数;(2)在

=1时，最左端直线或其延长线的分贝值等于20lgk(3)在交接频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取决于典型环节种类。例如，在惯性环节后，斜率减少20dB/dec；而在振荡环节后，斜率减少40

dB/dec。绘制近似对数幅频曲线的步骤：①在半对数坐标上标出所有的转折频率；②确定低频段的斜率和位置；③由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，曲线的斜率发生相应的变化。53

对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性的草图。k()=090arctan(0.2)-90()/(°)0-180k(0)=90

k()=180k(1)=101.3k(5)=135k(10)=153.4

151054

例5-7

绘制单位反馈系统的开环传函为试绘制系统的对数幅频曲线。解：将传函化简成标准形式L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/decc=5c

幅值穿越频率55定义:开环零点与开环极点全部位于s左半平面的系统为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。

例5-8

已知两个控制系统的开环传函分别为：试绘制两系统的开环伯德图。解：由定义知G1(s)对应的系统为最小相位系统，G2(s)对应的系统为非最小相位系统，频率特性分别为：5.3.3最小相位系统与非最小相位系统560j1j+10.5j+0.5j

01j0.5j+0.51其对应的零—极点分布图如下:1()=arctanarctan22()=arctanarctan257L()/dB1-20dB/dec0.5L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/(°)0-180-90()/(°)01()=arctanarctan22()=arctanarctan258结论：

①

在具有相同的开环幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围最小;

②最小相位系统L()曲线变化趋势与()一致；

③最小相位系统L()曲线与()两者具有一一对应关系，因此在分析时可只画出L()

。反之，在已知L()曲线时，也可以确定出相应的开环传递函数。④最小相位系统当时，其相角()=90•(nm)n为开环极点数，m为开环零点数。

例5-9

某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图示，试写出该系统的开环传递函数。59L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1710215

解：低频段直线斜率是20dB/dec，故系统包含一个积分环节。据

=1时，低频段直线的坐标为15

dB，可知比例环节的k=5.6。交接频率为=2和=7，可以写出系统的开环传递函数：605.4奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。具有以下特点：

(1)应用开环频率特性曲线就可以判断闭环稳定性。

(2)便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。

(3)很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。

(4)奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。

5.4.1辅助函数F(s)

如图示的控制系统，G(s)和H(s)是两个多项式之比G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)61开环传递函数为闭环传递函数为

把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数，记作F(s)，F(s)仍是复变量s的函数。=1+Gk(s)62

显然，辅助函数和开环传函之间只相差1。考虑到物理系统中，开环传函中mn，故F(s)的分子和分母两个多项式的最高次幂一样，均为n，F(s)可改写为：F(s)具有如下特征：

1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根；

2）零点和极点个数相同；

3）F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。式中，zi和pi分别为F(s)的零点和极点。63

F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。j0sziAF(s)ImRe0FB5.4.2幅角原理在s平面上任选一点A

通过映射F(s)平面上F(A)。设s只包围zi

，不包围也不通过任何极点和其他零点。

从A点出发顺时针转一周回到A64

幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点，P个F(s)的极点，则s沿封闭曲线s顺时针方向转一圈时，在F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之差，即

R=PZN若为负，顺时针。5.4.3奈氏判据（1）0型系统s为包围虚轴和整个右半平面。s平面s映射

F(s)

正虚轴j(:0)F(j)(

:0)

负虚轴j(:0)F(j)(

:0)

半径的半圆(1,j0)点0js+65

F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。F(j)包围原点就是G(j)H(j)包围(-1，j0)点。GH平面0F平面1对于G(j)H(j):0，开环极坐标图；

:0，与开环极坐标图以轴镜像对称；

F平面(1,j0)点就是GH平面的坐标原点。66

奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（:0）包围(1，j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z，且有

Z

=PR

若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳定的。

或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围(1，j0)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围(1，j0)点P圈时，闭环系统是稳定的。67例5-10

判断系统稳定性（2）

p=0，R

2

z

pR

20

闭环系统不稳定的。Rep=0

ReIm0

=0

解：由图知（1）p=0且R=0

闭环系统是稳定的。ReIm01p=0

=0

68（3）p=0，R0

闭环系统是稳定的。ReIm01

=0

p=069试用奈氏判据判断系统的稳定性。

例5-11

一单位反馈系统，其开环传函当

=0，Gk(j0)=k180

当

，Gk(j)=090

ReIm0

=0k

解：已知p=1频率特性70

当k<1时，k>1，R=1

z=pR=0∴闭环系统是稳定的。当k>1，k<1，N=0，z=pR

=1

闭环系统是不稳定的。ReIm0

=0k171

相应地，在GH平面上开环极坐标图在

=0时，小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从=0到=0+顺时针旋转N•180°的大圆弧。如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。0+（2）开环有积分环节的系统

由于开环极点因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。j0

如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。0720js+ImRe0=0+增补线=0-73用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0

（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0)=90

终点：Gk(j)=0270

与坐标轴交点：例5-12

已知系统的开环传函为令虚部=0，得，74系统的开环极坐标图如图示：R=2

z=pR=2∴闭环系统是不稳定的。当ImRe0=0+增补线1=0-R=0

z=pR=0∴闭环系统是稳定的。当所作的增补线如虚线所示。>175

(3)由奈氏判据判稳的实际方法用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s右半平面根的个数P，根据公式

Z

=P

2R来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从

=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转N90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。76重新做例5-10

判断系统稳定性。（2）

p=0，R

1

z

p2R20

闭环系统不稳定的。Rep=0

ReIm0

=0

解：由图知（1）p=0且R=0

闭环系统是稳定的。ReIm01p=0

=0

77（3）p=0，R0

闭环系统是稳定的。ReIm01

=0

p=078

例5-13

已知系统的开环传函为起点：Gk(j0)=270

终点：Gk(j)=090

与坐标轴交点：x=101/2

Re(x)=0.1k

开环极坐标图如图0j-101用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知

p=1（2）作开环极坐标图79ImR