2018中考总复习平行四边形专题

25.（10分）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF=60°.（1）如图12-1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图12-2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图12-3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离。(2016·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)EO＝eq\r(2)，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．(2016·玉林)如图1，菱形ABCD对角线AC，BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A，B，C，D分别在四边形EFGH的边EF，FG，GH，HE上．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知eq\f(AC,BD)＝2，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．9．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．417．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=﹣1．【考点】旋转的性质．【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．【解答】解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，(2)当P点为AB的中点时，△PFD∽△BFP.理由：∵∠ADP＝∠BPF，∠A＝∠FBP，∴△DAP∽△PBF.∴eq\f(PD,PF)＝eq\f(AP,BF).∵P点为AB的中点，∴PA＝eq\f(1,2)AB＝PB.∴eq\f(PB,BF)＝eq\f(PD,PF)，即eq\f(PB,PD)＝eq\f(BF,PF).又∵∠PBF＝∠DPF，∴△PFD∽△BFP.2．(2017·海南)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.(1)求证：△CDE≌△CBF；(2)当DE＝eq\f(1,2)时，求CG的长；(3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．解：(1)证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°，∠DCE＋∠ECB＝∠DCB＝90°.∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°.∴∠BCF＋∠ECB＝∠ECF＝90°.∴∠DCE＝∠BCF.在△CDE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠D＝∠CBF＝90°，,DC＝BC，,∠DCE＝∠BCF，))∴△CDE≌△CBF(ASA)．(2)在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF.∴eq\f(BG,AE)＝eq\f(BF,AF).由(1)知△CDE≌△CBF，∴BF＝DE＝eq\f(1,2).∵正方形的边长为1，∴AF＝AB＋BF＝eq\f(3,2)，AE＝AD－DE＝eq\f(1,2).∴eq\f(BG,\f(1,2))＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2)).∴BG＝eq\f(1,6).∴CG＝BC－BG＝eq\f(5,6).(3)不能．理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE＝CG，∴AD－AE＝BC－CG.∴DE＝BG.由(1)知△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，CE＝CF.∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形．∴∠GFB＝45°，∠CFE＝45°.∴∠CFA＝∠GFB＋∠CFE＝90°.此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．4．(2017·贵港)已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．(1)如图1，若点D是AC中点，连接PC.①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形；(2)如图2，若BD＝AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．解：(1)①BP＝2eq\r(5)，BD＝2eq\r(2).②证明：延长BD至E，∵D是AC边的中点，AC＝4，BC＝2，∴DC＝AD＝BC.又∵∠ACB＝90°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠BDC＝∠ADE＝45°.由折叠(轴对称)性质可知，∠EDP＝∠ADE＝45°，PD＝AD＝2，∴∠PDA＝90°.∴PD∥BC，且PD＝BC＝2.∴四边形BCPD是平行四边形．(2)连接AP并延长与BC的延长线交于点F，延长BD与AP交于点E，由折叠(轴对称)性质可知，PD＝AD，∠PDE＝∠ADE，BE⊥AP，PE＝AE.∵BD＝AD，∴在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD2＝(4－BD)2＋22，∴BD＝eq\f(5,2).∵AD＝BD，∠ADE＝∠BDC，∴Rt△PDE≌Rt△ADE≌Rt△BDC.∴PA＝2BC＝4，∠FAC