信号与系统课件 §7.3 离散时间系统的数学模型-差分方程

§7.3离散时间系统的数学模型——

差分方程一、线性、时不变离散系统二、差分方程三、离散时间系统的模拟返回一、线性、时不变离散系统(一）线性系统(二）时不变系统(三）因果系统(四）稳定系统返回

系统功能的本质:是将输入序列转变成输出序列的运算(映射)。即：y(n)=T[x(n)]T[.]x(n)y(n)运算关系(一)线性系统具有均匀(齐次)性、叠加性的系统称为线性系统。离散时间系统)(1nx)(1ny离散时间系统)(2nx)(2ny返回若：(c1、c2为任意常数)则有：离散时间系统c1y1(n)+c2

y2

(n)c1x1(n)+c2

x2(n)(二）时不变系统

整个序列右移N位返回如果：T[x(n)]=y(n)，若有T[x(n-N)]=y(n-N)；则称为时不变系统。T[.]x(n)y(n)T[.]x(n-N)y(n-N)(三）因果系统

返回

系统的输出y(n)只取决于此时刻、以及此时刻以前的输入，即：x(n)、x(n-1)、x(n-2)……。则称为因果系统。{若y(n)取决于x(n+1)、x(n+2)……，即：系统的输出取决于未来的输入，这在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统。}因果系统的充要条件：h(n)0，n<0h(n)为单位脉冲响应。(四）稳定系统

返回有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。稳定系统的充要条件：

即：单位脉冲响应绝对可和。注意：

，只是系统稳定的必要条件，而非充分条件。二、差分方程返回

在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结为微分(积分)、乘系数、相加的关系，即：微分方程。（一）数学模型的基本单元（二）差分（三）差分方程（四）差分方程的建立（五）差分方程的特点

在离散时间系统中，基本运算关系是延时(移位)、乘系数、相加的关系，即：差分方程。这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同，因此描述系统的数学手段也不同。（一）数学模型的基本单元返回延时器标量乘法器或T、D若x2(n)=a，则为标量乘法器加法器乘法器x1(n)x1(n)•x2(n)x2(n)x1(n)x2(n)x1(n)+x2(n)x1(n)x2(n)x1(n)+x2(n)y(n)y(n-1)z-1x(n)ax(n)ax(n)ax(n)ay(n)y(n-1)（二）差分前向差分Dx(n)定义为：Dx(n)=x(n+h)-x(n)后向差分x(n)定义为：x(n)=x(n)-x(n-h)中心差分dx(n)定义为：dx(n)=x(n+h/2)-x(n-h/2)式中h（h>0）为步长，一般取步长h=1。1.序列x(n)的前向差分

Dx(n)=x(n+1)-x(n)（一阶差分）

D2x(n)=Dx(n+1)-Dx(n)=x(n+2)-x(n+1)-[x(n+1)-x(n)]=x(n+2)-2x(n+1)+x(n)（二阶差分）对于一个离散信号x(n)，差分运算有三种形式：2.序列x(n)的后向差分

D3x(n)=x(n+3)-3x(n+2)+3x(n+1)-x(n)(三阶差分)(k阶差分)

x(n)=x(n)-x(n-1)(一阶差分)

2x(n)=

x(n)-x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2)(二阶差分)(k阶差分)

3x(n)=2x(n)-2x(n-1)=x(n)-3x(n-1)+3x(n-2)-x(n-3)(三阶差分)3.典型序列的差分（后向）返回

u(n)=u(n)-u(n-1)=d(n)

n=n-(n-1)=1

n2=n2-(n-1)2=2n-1

n2u(n)=n2u(n)-(n-1)2u(n-1)=(2n-1)u(n-1)4.差分的逆运算———求和典型序列的求和（三）差分方程a0(n)y(n)+a1(n)y(n-1)+…...aN(n)y(n-N)=b0(n)x(n)+b1(n)x(n-1)+…...bM(n)y(n-M)1.一般差分方程表达式F(n,y(n),y(n),……ky(n))=0或

Q(n,y(n),y(n-1),……,y(n-k))=0

称为未知序列y(n)的差分方程，F、Q是已知函数。

最前项变量减最后项变量n-(n-k)=k

称为差分方程的阶数。2.线性差分方程其中ai(n)、bj(n)、x(k)，i=0,1,……N;j=0,1,……M;

k=n-M,……n。返回

1）若，方程是N阶差分方程。

2）若ai(n),bj(n)是常数（与n无关），则方程或被描述的系统是时不变的。

3）若bj(n)=0，j=0,1,……M，则方程是齐次差分方程。a0(n)y(n)+a1(n)y(n-1)+…...aN(n)y(n-N)=b0(n)x(n)+b1(n)x(n-1)+…...bM(n)y(n-M)

与微分方程的分类相对应，差分方程也可划分为线性的与非线性的、常系数的与参变系数的等。

一般情况下，线性、时不变离散时间系统需要由常系数线性差分方程描述。这也本课程所要讨论的。（四）差分方程的建立

差分方程是处理离散变量函数关系的一种数学工具，其应用遍及许多科学领域，方程的建立与变量的选取因具体问题而异，方法多种多样。下面给出几种常用方法。返回1．由系统框图列写差分方程2．由微分方程导出差分方程3．由实际问题直接得到差分方程1．由系统框图列写差分方程解：一阶后向差分方程一阶前向差分方程例7-3-1框图如图，写出差分方程返回y(n+1)y(n-1)2．由微分方程导出差分方程则后差形式为：若取时间间隔为：Ty(t)：输出x(t)：输入对上述微分方程，若选用后差形式，则：前差形式为：若在t=nT

各点取得样值，则：n代表序号当前输出前一个输出输入返回注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T要足够小，T越小，近似程度越好。实际上，利用计算机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。3．由实际问题直接得到差分方程例7-3-2y(n)表示一个国家在第n年的人口数

a(常数)：出生率

b(常数):死亡率设x(n)是国外移民的净增数则该国在第n+1年的人口总数为：y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)解：例7-3-3如图所示电阻梯形网络，其各支路电阻都为R，每个结点对地的电压为v(n)，n=0,1,2,……N。已知两边界结点对地的电压为v(0)=E，v(N)=0。试写出第n个结点电压v(n)的差分方程。RRRRRRRRv(N-1)v(2)v(1)v(0)v(N)E+RRRv(n)v(n-2)v(n-1)解：1）减序形式

对任一结点n-1，如图所示，运用KCL不难写出经整理后得出：v(n)-3v(n-1)+v(n-2)=0然后，利用边界电压条件v(0)=E，v(N)=0可求得v(n)。RRRv(n+2)v(n)v(n+1)2）增序形式对任一结点n+1，如图所示：运用KCL不难写出经整理后得出：v(n+2)-3v(n+1)+v(n)=0然后，利用边界电压条件v(0)=E，v(N)=0可求得v(n)。结论：

我们可以看出：无论是减序形式，还是增序形式，二者本质是相同的，不论采用何种形式列写差分方程均可以，二者之间相互转换也很简单。

例7-3-4假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对的数目是多少。解：设第n个月兔子对的数目是y(n)，

第n个月兔子对的数目=第n-1个月的兔子对

+第n个月新生的兔子对根据题意，第n个月新生的兔子对，应等于第n-2个月兔子对的数目。所以，y(n)=y(n-1)+y(n-2)

已知y(0)=0，y(1)=1，y(2)=1

可以推知：y(3)=2，y(4)=3，y(5)=5，……。

例7-3-5一个乒乓球从H米高度自由下落至地面，每次解：y(n)表示第n次跳起的最高值，每次弹跳起的最高值是前一次最高值的2/3。由题意可得：

弹跳起的最高值是前一次最高值的2/3。若以y(n)表示第n次跳起的最高值，试列写描述此过程的差分方程。即：例7-3-6如果在第n个月初向银行存款x(n)元，月息为a,每月利息不取出，试用差分方程写出第n月初的本利和y(n)

。解：第n月初的本利和共由：本月存入、上月结余、上月利息三部分组成。由此可得：即：y(n)-(1+a)y(n-1)=x(n)返回y(n)=x(n)+y(n-1)+a

y(n-1)(五)差分方程的特点

1、输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。2、差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低序号差数为阶数。如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的减序通式：或（令a0=1)：y(n)+a1

y(n-1)+a2

y(n-2)+……+aN

y(n-N)=b0

x(n)+b1

x(n-1)+……+bM

x(n-M)增序通式：或（令aN=1)：y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+……+a0y(n)=bM

x(n+M)+bM-1

x(n+M-1)+……+b0

x(n)4、差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会画。3、微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。返回三、离散时间系统的模拟

差分方程既然与微分方程形式相似，所以对于离散时间系统也可象模拟连续时间系统那样，用适当的运算单元联接起来加以模拟。

模拟离散时间系统的运算单元中，除加法器、标量乘法器及乘法器与模拟连续时间系统所用的相同外，关键的单元是延时器。延时器是用作时间上向后移序的器件，它能将输入信号延迟一个时间间隔（T）。延时器是一个具有记忆的系统，它能将输入数据储存起来，并于一个时间间隔T后在输出处释出。

模拟离散时间系统所用的延时器，相当于模拟连续时间系统所用的积分器。

模拟方法与连续系统相似。例如：设描述N阶离散时间系统的差分方程（增序）为：

y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+……+a0y(n)=bM

x(n+M)+bM-1

x(n+M-1)+……+b0

x(n)N阶离散时间系统的模拟图与N阶连续时间系统的模拟图的结构相同，只是前者用延时器代替后者的积分器而已。使：q(n+N)+aN-1q(n+N-1)+……+a0q(n)=x(n)

y(n)=bM

q(n+M)+bM-1

q(n+M-1)+……+b0

q(n)其证明与连续时间系统的相同，这里不多赘述。为此，与连续时间系统的模拟那样，引如辅助函数q(n)。Dx(n)b0y(n)DDb1…bM-1bM…-aN-1-a1-a0所示模拟框图中假定N=M。延时器用D表示，与T、E-1、相同增序模拟框图q(n)q(n+1)q(n+N-1)q(n+N)又如：设描述N阶离散时间系统的差分方程(减序)为：y(n)+a1