计数原理与排列组合

点学生姓名级观察期：□填写时间学生姓名级观察期：□填写时间教材版本人教版姓名学科阶段课题课时计划第(48)周第()课时第()课时共()课时1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用2、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解个性化教学目标体会分类讨论的思想1、正确区分排列与组合,熟练排列数与组合数公式2、能熟练利用排列数与组合数公式进行求值和证明.分类讨论思想的灵活应用第一部分：计数原理地共有多少种不同的走N=m+m++m种不同的方法程12程类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理法计数.例1、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学：生物学化学医学物理学工程学B大学：数学会计学信息技术学法学北北N=mmmn种不同的方法说明：1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.~9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?第二部分：排列同1、对排列定义的理解.2、相同排列.如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.3、排列数.nn写成：An=n!,规定0!=1，所以A0＝1。nnn!Am=nAm1nn18解析：原不等式可化为＜6·，化简得m2－15m＋50＜0，A5＋A42A5＋7A4Am－1·An－mA6－A5A8－A5An－1.A6－A5A8－A5An－1.1089n－199＋A2A5＋7A42×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5(3)88＝＝1.A88－A958×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5n＋1nnnn∴An＋1＝An＝(n＋1)An.1、某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别[解题过程](1)方法一(直接法)：第一步，排个位，有A1种排法；3第二步，排十万位，有A1种排法；4第三步，排其他位，有A4种排法．4故共有A1A1A4＝288个六位奇数．方法二(排除法)：6个数字全排列有A6个，62,4在个位上的排列数有3A5个，54故对应的六位奇数的排列数为A6－3A5－3A4＝288(个)．654(2)方法一(排除法)：0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A6－2A5＋A4＝504(个)．654方法二(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A5个；5第二类，当个位不排0时，有A1A1A4个．4故共有符合题意的六位数有A5＋A1A1A4＝504(个)．5444(3)①当千位上排1,3时，有A1A1A2个．②当千位上排2时，有A1A2个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A1个；3形如41××的有A1A1个；3故共有A1A1A2＋A1A2＋2A1＋A1A1＋2＝110(个)．23424323题后感悟：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．第二部分：组合注意：排列与组合的联系与区别。mn不同点：排列与元素周期律的顺序有关，组合与元素的顺序无关。只有元素相同且顺序相同的两个排列才是相同的，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序是否相同，它们m元素的组合数.用符号Cm表示.nnAmm!mn取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()44故选B.解：需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C8种选法；第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C4种选法．根据分步乘法计数原727(2)现要从中选出男、女大学生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？的组合数，即C2＝10×9＝45种．102×1赛，按照足球比(2)如果在选出11名上场队员时，还在确定其中的守门员，那么教练员有多少种方(2)平面内有10个点，以其中每两个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)正方体8个顶点可构成C4个四点组，其中共面的四点组是正方体的6个表面及88以其余的四个点中任一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C1＝48(个)．4A点A少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法．含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C3种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有35种取法．根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C3＋3＝33种．5C种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C4＝60(种)，四6面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时(1)有多少种不同的抽法？的C4C4C4家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？4646方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：464646464646，共有C6种选法，考虑选取1名外科专CC专家参加，有C6种选法，所以共有：46610466①没有外科专家参加，有C6种选法；6464664646(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？种？种？C2＝34×33＝561(种)．342)至少有2种假货，直接法为C2C1＋C3＝2555种，152015间接法为C3－C3－C1C2＝2555种．35201520CCCCC090(种)，3515nn-m个元素的唯不同选法，分二类，一类是含红球选法有C一类是不含红球的选法有C)nm1个元mm15、几个常用组合数公式nnnn3410分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第(1)题中，C97=C3，经此变形后，可继续使用组合数性质．第(2)题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形C3=C4C4，求和；另一方面，变形C3=C4，nn+1n34接着C4+C3=C4，C4+C3=C4…，反复使用公式．445556解：(1)原式=(C2+C3)A3=C3A3=A1A3=1A3=1．100100101101101A3101363(2)原式=C3+C4C4+C4C4+^+C4C4=C4=330．5465111011另一方法是：原式=C4+C3+C3+^+C3=C4+C3+^+C3=C4+C3+^+C344510551066101Cm+Cm+Cm+^+Cm=Cm+1．mm+1m+2nn+1左边=Cm+Cm+1Cm+1+Cm+1Cm+1+^+Cm+1Cm+1=Cm+1=右边．mm+2m+1m+3m+2n+1nn+1851002007789nn＋1(4)由{5－n≤n5－n≥09－n≤n＋19－n≥0?4≤n≤5.45456100555555n＋100117CmCm10Cm8练习2：(1)CmCm10Cm85671x＋2x＋210x＋3(2)解方程：Cx－2＋x＋2x＋210x＋3[解](1)原方程变形为－＝mm，，一、知识点熟记1、做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有2nm种不同的方法……在第n类办法中有2nN=种不同的方法；12完成一件事，需要分n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有12不同的方法；Am=nn组合数的计算公式Cm=n②(3)两个性质公式：①②二、题组分析2、有一位同学要从三门不同的知识类选修课、二门不同的技能类选修课、四门不同的艺术类选修课中各选一门，不同的选法有()4、由甲地直达丙地有2种走法，由甲地到乙地有3种走法，由乙地到丙地有4种走法，则由甲地到丙地所有不同走法有()种6、18×17×16×15×…×9等于()A8A9A10A117、现有5支足球队争夺冠、亚军，那么不同的结果有()种D8、现有5人照相，甲站中间的排法有()9、一个画展在5个学校轮流展出，每个学校展出一次，则不同的展出次序有()种10、用1,2,3,4,5,6，这六个数字组成不重复的三位数的个数是() )12、从6篇稿件中选4篇参加征文比赛，不同的选法有()种6!66