圆锥曲线地综合应用及其求解策略prt

圆锥曲线的综合应用NUMPAGES10PAGE10圆锥曲线的综合应用NUMPAGES10PAGE10圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。★【例题1】（2007年高考·湖南文科·19题·13分）已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于A、B两点，又已知点的坐标是．（I）证明·为常数；（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．◆解：由条件知，设，．（I）当与轴垂直时，可求得点A、B的坐标分别为，，此时则有．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入，则有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．∴综上所述，为常数．（II）设，则，，，，由得：即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为A、B两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．▲点拨：本题中“·为常数”的证明，采用特殊位置“当与轴垂直时”可轻易得出·=-1；接下来再从一般情况“当不与轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！★【例题2】已知A,B为椭圆(a>b>0)和双曲线的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且有EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AP)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BP)=(EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AQ)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BQ))(∈R,||>1),设AP,BP,AQ,BQ斜率分别为k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4为一个定值.◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AP)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BP)=(EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AQ)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BQ)),依据向量加法的平行四边形法则,则有O、Q、P三点共线；设P(x1,y1)、Q（x2，y2）,则EQ\f(x12,a2)-EQ\f(y12,b2)=1,则x12-a2=EQ\f(a2,b2)·y12；∴k1+k2=EQ\f(y1,x1+a)+EQ\f(y1,x1-a)=EQ\f(2x1y1,x12-a2)=EQ\f(2b2,a2)·EQ\f(x1,y1)；同样有k3+k4=EQ\f(-2b2,a2)·EQ\f(x2,y2)；由于EQ\f(x1,y1)=EQ\f(x2,y2)，∴所求的定值为0。▲点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化简，从而得到其定值为0。二、最值问题：常见解法有两种：几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。★【例题3】、抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是()A6B9C12D16▲若将上题中点A的条件改为A(3,1),其它不变,则应为____解析：由抛物线定义，可知当A、P、H（如图1）三点共线时，|PA|+|PF|最小，其最小值为9。▲条件改动之后，则当A、P、F三点共线时（如图2），|PA|+|PF|最小，其最小值为3。▲点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特征，从而解决所求之问题。运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。★【例题4】（2007年安徽高考题）设是抛物线的焦点．设A、B为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，分别交抛物线于点C、D，求四边形面积的最小值．◆解：设，；由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．因直线过焦点，所以直线的方程为．点A、C的坐标满足方程组得，由根与系数的关系知则有：．因为，所以的斜率为，从而的方程为．同理可求得．∴．当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．▲点拨：本题首先通过计算，建立好四边形面积的函数表达式，然后根据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。★【例题5】（2007年全国高考题·12分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于A、B两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．◆解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即；得圆的方程为．（2）不妨设．由即得．设，由成等比数列，得，即．由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．▲点拨：本题同样是先通过计算，建立好“”的函数表达式，然后依据“点在圆内”，得出相应的约束条件“”，从而得出所求。三、求参数的取值范围范围问题：求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种是不等式（组）求解法根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；②、第二种是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。★【例题6】、若圆x2+(y-1)2=1上的任一点P(x,y),有不等式x+y+c≥0恒成立，则c的取值范围是_____◆解：可设；则有cos+sin+1+c≥0恒成立，即有c≥-(cos+sin+1)恒成立，∴c≥EQ\r(,2)-1为所求。▲点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三角函数的最值的问题，从而简捷易解。Oyx1lF★【例题7】（2007年福建高考题·14分）如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．Oyx1lF（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．◆解析：（Ⅰ）由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．（Ⅱ）、（1）：由已知，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②；PBQMFOAxy由PBQMFOAxy（Ⅱ）、（2）：设直线的方程为：．设，，又，联立方程组，消去得：，，∴．当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．▲点拨：本题中“求的值”，首先是建立好条件不等式组，再化简计算得出所求。四、对称问题：包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理➊垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；➋中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。★【例题7】、(2004年上海高考·文科20题·14分)如图,直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值.◆解析:(1)解方程组得或者；即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,x2－4).∵点P到直线OQ的距离；∴d==,,∴SΔOPQ==.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,且当x=－4时，|x2+8x－32|=48当x=8时，|x2+8x－32|=96∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值.NOACByx▲点拨：本题中“直线AB的垂直平分线方程”的求解，主要是NOACByx★【例题8】、（2007年湖北高考题·14分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．◆解析：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，NOACByxl直线的方程为，与联立得消去得．由韦达定理得，．于是，当时，．NOACByxl（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为．，，，．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．▲点拨：本题中“点是点关于坐标原点的对称点”，利用中点坐标公式，很快就得出点N的坐标了。五、实际应用问题：此类问题要建立好平面直角坐标系，建立好数学模型，实现应用问题向数学问题的转化。【例题9】如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km。现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2aA．(2－2)a万元B．5a万元 C．(2+1)a万元D．(2+3)a万元◆解析：这是福建省2004年的一道高考题。①、首先，建立如图所示的直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），C（3，EQ\r(,3)）；②、PQ曲线是以A、B为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为：，其离心率为e=2,准线方程为x=EQ\f(1,2)③、考查修建这两条公路的总费用y=|MB|·a+|MC|·2a=(|MB|+2·|MC|)·a，由于点B为曲线的焦点，则有EQ\f(|MB|,|MH|)=e=2,则|MB|=2·|MH|，从而有y=(2·|MH|+2·|MC|)·a=(|MH|+|MC|)·2a,由图显然可知，当H、M、C三点共线时，y费用最少，最少费用为（3-EQ\f(1,2)）×2a=5a万元；所以本题选（B）。▲点拨：本题首先要建立好平面直角坐标系，再依据双曲线的第二定义去转化所求，从而得出答案。总之，圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下：直线与圆锥曲线的位置关系：、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：（1）若△<0，则直线与圆锥曲线没有公共点；②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点；③若△>0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点；、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交（有两个交点）、相切（有一个公共点）、相离（没有公共点）三种情况；这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。直线被圆锥曲线截得的弦长问题：①、直线与圆锥曲线有两个交点A（x1,y1)、B(x2,y2)，一般将直线方程L：y=kx+m代入曲线方程整理后得到关于x的一元二次方程则应用弦长公式：|AB|=；或将直线方程L:x=EQ\f(1,k)y+t代入曲线方程整理后得到关于y的一元二次方程则应用弦长公式：|AB|=；②、过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷;、垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双曲线的通径长都为EQ\f(2b2,a),而抛物线的通径长为2p；、对于抛物线y2=2px（p>0)而言，还有如下的焦点弦长公式，有时用起来很方便：|AB|=x1+x2+p；|AB|=EQ\f(2p,sin2)(其中为过焦点的直线AB的倾斜角）直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：①、设直线方程为y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理（由于直线方程与圆锥