高中数学必修五北师大版-一元二次不等式的解法

第2课时一元二次不等式的解法(二)1.掌握一元二次不等式的解法．(a<0)2.会解与二次不等式有关的恒成立问题．3.会解含有参数的一元二次不等式.重点：1.一元二次不等式当a<0时的解法．2.含参数的不等式的解法．难点：含参数的不等式的解法及分类讨论思想的应用.1．当a<0时，一元二次不等式的解法一般地，对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先将它化成二次项系数为正数的一元二次不等式，再求解．由此可得解任意一个一元二次不等式的框图如图所示．2．形如a(x－x1)(x－x2)>0(或<0)不等式的解法根据符号法则，转化为

求解．一元一次不等式组1．已知a>1，则不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(

)A．(a，＋∞)

B．(－∞，1)C．(1，a)D．(－∞，1)∪(a，＋∞)解析：由x2－(a＋1)x＋a<0得x1＝1

x2＝a，∵a>1，所以解集为(x|1<x<a).答案：C答案：D形如ax2＋bx＋c>0(<0)(a<0)的不等式的解法形如ax2＋bx＋c>0(<0)(a<0)的解法技巧①将二次项的系数化为正．②解方程的根．③作出y＝ax2＋bx＋c的图像．④结合图像写解集．[例2]

设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.[分析]

讨论二次项的系数等于零，大于零或小于零，然后化为系数大于零的形式，写解集时要区分两根的大小．解含参数的一元二次不等式引发含参数的一元二次不等式分类讨论的标准：(1)二次项系数是否等0；(2)二次函数图像的开口方向；(3)判别式Δ与0的大小关系；(4)在Δ>0的条件下，两根x1，x2的大小关系．解关于x的不等式x2＋ax＋1>0.恒成立问题[例3]

当a为何正值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解是全体实数？设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．[典例]

解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．[规范解答]

原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.所以当a<0时，a<a2，解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；当0<a<1时，a2<a，解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}；当a>1时，a<a2，解集为{x|x<a或x>a2}．综上所述，当a<0或a>1时，解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，解集为{x|x≠0}；当a＝1时，解集为{x|x≠1}．[反思]如果根的大小关系不确定要注意分类讨论，只要分类讨论，必须综上所述．[提升训练]已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

[解析]

f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x＝a.当a∈(－∞，－1]时，结合图像(图略)知f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.∴要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a≤－1.当a∈(－1，＋∞)时，f(