自动控制原理第四章

第四章知闭环极点可判闭环系统的稳定性（已解决 运算和开方运算求根的方法）n≥4时，求根，且系统参数变化时，§4—1根轨迹与根轨迹方程)

=s(s+

T(s)

1+

s2+2s+1-∴闭环极点为：s1=-1+1-2K,s2=-1- 当K=0时，s1=0,s2=1-K=0.5s11s21;K=1s11js21j;K=s11j¥s21j¥;①当K从0→¥变化时，根轨 ess＝0。①根轨迹可分析系统中参数（K。而二阶系统中的x、wnT(s)

1+G(s)H一般地，可设K nG(s) ng

(s-pgiKKH H

-zhiH(s) (s-phi * (s-zgi

(s-zhiG(s)H(s)= (s-pgi (s-phi K* * (s-zgi (s-phiT(s)=

* (s-pgi (s-phi)+ (s-zgi (s-zhi

H(s)

①闭环系统的根轨迹增益K =K =K* 画根轨迹实质上是找闭环特征方程1G(s)H(s)0满足G(s)H(s1的sm=K (s-zi=n i= n(s-pii=K *K

(s-zi

(s-pi —(s-z)

—(s-p)=(2k

要用于确定根轨迹上的各点对应的开环增益K*。§4-2绘制根轨迹 一．二．根轨迹对称于实轴闭环极点为

三．m(s-zi *i =-*ni

(s-pi K*0spi0spiK*=¥szi0s <开环极点数 (有n-m个开环零点在无穷远处m(s-zi n i =nm(s-p

(s-p i i四． —(s-z)

—(s-p

q3=0o，q2=q1=qz=180o，q4+q5=0，右边为，有奇数个五．当sfi¥时，G(s)H(s)若mn，则nm条根轨迹fi¥ pi- n-j(2k+1)pk0,–1,–2,...至获得(nm m(s-zi

sm-

zism-1+

(-ziG(s)H(s) K n(s-pi

sn-

pjsn-1+

(-pj=

K

n-m-

j j -pj-zi j i G(s)H(s)=-

-n

-

n-m-1

=-K=K

j(2kjjjfisn-m1-n

s s-

-1

=Kej(2k j

i

1 -1n-

1

j(2kfis1-pj-zi

j (a+b)r

nnk

Ckar- »C0ar+C1ar- =ar+rar-flC0=1,C1

-1 pj-zi s1-j i n- pj-

j(2k=s-j in-1

=Kn- n-s-sa=Kn- e即为kfi¥远方的根轨迹方程，是个直线方程，表明从实轴上坐标为sa,0的点向远方根轨迹上的点s引矢量，则此矢量在远方就近似与根轨迹重合。换言之，sa,0就是这nm条渐近线在实轴上的共同点，即这些渐近线都从sa,0点向六．根轨迹的起始角与终止角 由(szi-(spi(2k sfipj，qpj=lim—(s-pj

=-(2k+1)p+—(pj-zi)-—(pj-pi

sfip =+(2k+1)p+—(zj-pi)-—(zj-zi

七．分离点（或会合点的坐标

i„辐角条件m

sB-s

ss

B-pif(x)0若在s=s1处有二重根,f(x)=(x-yi)(x-s1)→f(s1)=0,f'(s1)=01+G(s)H(s)=0{d[1+G(s)H(s)]=d[G(s)H(s)]= 八．RuthK值（第二种特殊情况K值求相jw。求1G(s)H九．

sjw0的 pjj=1

pj

§4.3控制系统的根轨迹分析由开环G(s)H(s)对某*Kfi求闭环极点 （t）fi闭环系统动态性能例.知开环G(s)

s(s+1)(0.5s解：G(s)

K=s(s+1)(s+ s(s+1)(s+②实轴上-¥，－2）j=(2k+1)p=(2k+1) =-

3k=k=-k=1s=(-1)+(-2)+0=- + +1=d d+ fid10.428d21.58(舍d3?,s3+3s2+2s+K*=(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K*=-w3+2w= -

+K*=2fiw1=0,w2,3=–jK*=6,K=32 <3根据x，确定闭环主导极点s1, 由b的定义：可画出x0.5时的阻尼线，与根轨迹交点为s1，可测s10.33j0.58，其共轭s20.33j0.58。K*

s1-

s1-p

s1-

=0.6670.8861.77= K=1K*=2s3+3s2+2s+K*=0，s1,2=-0.33–用长除法得：s3=-2.34»(7) ∴s1，s2确为主导极K K KT(s)(s-

)(s-

+0.667s+

s+w ∴当r(t)U(t)Mp=e

ts

n2kjA=– 2kp

sA

n-

G(s)H(s)=s(s

¯s+

¯s+jA=

jA=

jA=G(s)H(s) s(s2+2s+sA=-2/jA=–60,p

Zc=-2:sA=jA=

Zc=-0.5:sA=-jA=Gc(s)=(s-Zc)/(s-pc Zcpc时，零点更靠近虚轴，起主导作用， Zcpc ZcpcmK (s-ZinG(s)H(s) n

(s-pim G(s)H(s) NN

sm(-Zi=→ K i=1 =(-pjj加上Zcpcm(-Zi

i=1 (-pj

(-pcj如zc0.05,pc0.01时，二者离虚轴已经很近，根轨迹形状不太变，但均对系统§4.4广义根轨迹T(s)

1+G(s)H闭环特征方程1G(s)H(s0随某参量bG(s)H(s)mK (s-Zi＝ 1n

(s-pi

C (s-ZbinG