第三章结构动力学单自由度体系课件

第三章：单自由度体系

主要内容单自由度体系的自由振动反应单自由度体系简谐荷载的反应单自由度体系周期荷载的反应单自由度体系冲击荷载的反应单自由度体系任意荷载的反应振动的能量结构振动试验地震反应分析单自由度体系：动力自由度数为一个的动力系统分析单自由度体系的意义：第一、具有一般动力系统的基本特征第二，很多实际动力问题直接为单自由度体系。第三，是多自由度体系分析的基础。图3.1单自由度体系3.1自由振动反应

自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。即运动方程：无阻尼自由振动：不考虑阻尼有阻尼自由振动：考虑阻尼3.1.1无阻尼自由振动

运动方程（无阻尼）初始条件：

3.1.1无阻尼自由振动

设无阻尼自由振动解的形式为：

其中：s为待定系数；A为常数系数方程：两个虚根：

3.1.1无阻尼自由振动

运动方程的通解为

指数函数与三角函数的关系：运动方程的解：A，B—待定常数，由初始条件确定。3.1.1无阻尼自由振动

将位移

和速度初始条件代入：得待定常数为：3.1.1无阻尼自由振动

体系无阻尼自由振动的解

其中无阻尼振动是一个简谐运动（Simpleharmonicmotion）

ωn——自振频率。

3.1.1无阻尼自由振动

图3.1

无阻尼体系的自由振动

3.1.1无阻尼自由振动

结构自振频率和自振周期

自振频率：Naturalfrequency(ofvibration)

自振周期：NaturalPeriod(ofvibration)

——结构的重要动力特性

3.1.1无阻尼自由振动

结构自振频率和自振周期及其关系

自振圆频率：(单位：弧度/秒,rad/s)自振周期：(单位：秒,sec)自振频率：(单位：周/秒,赫兹,Hz)1.（国家一级注册结构师试题）图示三个单跨梁的自振频率之间关系分别为:

A.

ωa>ωc>

ωbB.ω

a>ωb>ωc

C.ωb>ωa>ωcD.ωc>ωa>ωbA例题2.图a所示刚架不计分布质量，则其自振频率为：

A.B.C.D.解:此结构相当于图b。（b）（a）3.1.2有阻尼自由振动

运动方程：初始条件：

3.2有阻尼自由振动

令，代入运动方程

得：

3.1.2有阻尼自由振动

当

体系不发生往复的振动当

体系产生往复的振动使成立的阻尼c称为临界阻尼临界阻尼记为ccr：

3.1.2有阻尼自由振动

临界阻尼和阻尼比定义

1临界阻尼：体系自由振动反应中不出现振荡所需的最小阻尼值。临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。2阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，用ζ表示

3.1.2有阻尼自由振动

（1）当时，ζ＜1，称为低阻尼（Underdamped），结构体系称为低阻尼体系；（2）当时，ζ＝1，称为临界阻尼（Criticallydamped），（3）当时，ζ＞1，称为过阻尼（Overdamped），结构体系称为过阻尼体系。对于钢结构：钢筋混凝土结构：

减震结构：3.1.2有阻尼自由振动

低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线3.1.2有阻尼自由振动

3.低阻尼体系（UnderdampedSystems）

将：代入：

得：

低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：ωD—阻尼体系的自振频率

3.1.2有阻尼自由振动

3.低阻尼体系

ωD—阻尼体系的自振频率

TD—阻尼体系的自振周期

ωn和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期(1)阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小(2)阻尼的存在使体系的自振周期变长，当ζ＝1时，自振周期TD=∞

3.1.2有阻尼自由振动

3.低阻尼体系现场实测：ωD

和TD理论计算：ωn

和Tn工程中结构的阻尼比ζ在1—5%之间，一般不超过20%，因此可以用无阻尼体系的结果代替有阻尼结果。图3.6阻尼对自振频率和自振周期的影响3.1.2有阻尼自由振动

4.超阻尼体系结构的阻尼大于临界阻尼，即，阻尼比两个特征根为两个负实数

由于阻尼过大，系统的运动为按指数规律衰减的非周期运动例3.1如图3.5所示为一单层建筑的计算简图。设横梁的刚度，屋盖系统和横梁重量以及柱子的部分重量可以认为集中在横梁处，设总重为。为了确定水平振动时门架的动力特性，我们进行以下振动实验：在横梁处加一水平力，门架发生侧移；然后突然释放，使结构自由振动。求解相应的无阻尼体系的自振频率。若结构阻尼比为0.03，求解结构的自振频率、阻尼系数及自由振动反应表达式。

图3.5单层建筑计算简图当，自振频率阻尼系数自由振动反应3.1.3阻尼及其测量

1.阻尼的形式粘性阻尼复阻尼摩擦阻尼2.运动的衰减与阻尼比的测量结构的振动反应受阻尼比影响较大相邻振动峰值比仅与阻尼比有关而与i的取值无关

小阻尼比时3.自由振动试验实际中不能通过理论确定，必须通过试验确定。理论：试验：加速度传感器可以通过三角函数举例证实

结构及有关参数同例3.1，若用千斤顶使产生侧移20mm，然后突然放开，体系产生自由振动，振动4周后测得侧移为10mm。试求：（1）结构的阻尼比和阻尼系数；（2）振动10周后的振幅。

图3.5单层建筑计算简图强迫振动：结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。设质点m受干扰力F（t）作用，则质点m的动力平衡方程为：即：或

(14-18)§3-2

单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力F(t)的特解

(14-18)通解特解随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：(14-19)其中为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式(14-18)写为：

(14-20)设方程的特解为：（b）（a）式(b)代入式(14-20)，得到式(a)+式(b)，并引入初始条件，得到(14-21)由初始条件决定的自由振动伴生自由振动按干扰力频率θ振动的纯强迫振动或稳态强迫振动由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。1.不考虑阻尼的纯强迫振动(14-22)因此，最大动力位移（振幅）为(14-23)其中:代表将干扰力最大值F作为静载作用于结构上时引起的静力位移位移动力系数，代表最大动力位移与静力位移之比当θ<ω时，μ值为正，动力位移与动力荷载同向；当θ>ω时，μ值为负，表示动力位移与动力荷载的指向相反,这种现象仅在不计阻尼时出现。

动力反应谱（动力放大系数μ随频比θ/ω变化的关系曲线）动力放大系数μ的大小反映了结构动力反应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是完全一样的。当，通常,当动力荷载(即干扰力)的周期大于结构自振周期的五、六倍以上时，可将其视为静力荷载。

(1)当θ<<ω时，即θ/ω→0，这时μ→1。这种情况相当于静力作用。

动力反应谱

(2)当θ≈ω时，即θ/ω≈1，这时μ→∞。即振幅趋于无限大,这种现象称为共振。2)实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。1)共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。注意:3)应避开0.75<θ/ω<1.25共振区。(3)当θ>>ω

时，即θ/ω>>1，这时μ值为负值,并且趋近于零。这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止状态。工程设计中，要求的是振幅绝对值,动力反应谱中θ/ω>1部分的μ画在横坐标的上方。注意:在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用线与质体的振动位移方向重合时，其位移动力系数与内力动力系数是完全相同的，结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用建立动力微分方程的方法计算。解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为：故自振频率为例14-2

简支梁中点装有一台电动机，电动机重量G=35kN。已知梁的惯性矩

I=8.8×10-5m4，E=210GPa。发电机转动时离心力的垂直分力为F=sinθt，且F=10KN。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度。干扰力频率:动力系数:梁中点的最大弯矩为梁中点的最大挠度为质体的动位移y(t)

是以静力平衡位置为零点来计算的，因此y(t)

中不包括质体的重力影响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上这部分（Δst=δ11G）的影响。注意：运用图乘法可求得

(a)

(1)设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图.

例14-3

图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A

处受动力矩Msinθt

的作用，不计梁的质量，试求质点的动位移和支座A

处的动转角的幅值。解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。式中

代δij入上式，经整理后得

(b)解式(b)得稳态解为(c)(2)

根据叠加原理列出动位移质点的动位移是惯性力FI(t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为这说明质体动位移尚可应用放大系数计算。

质点的动位移幅值为，其中为动荷载幅值M所引起的质点静位移yst，μ动力系数。支座A处的动转角也是由惯性力FI(t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为由稳态解式(c)可知对式(c)求导两次后代入上式，可得将式(a)和F*=3M/l代入上式,得(c)可见,质点位移的动力系数μ和支座处动转角的动力系数μφ是不同的。支座A处的动转角幅值为

,

为动荷载幅值M所引起的静转角，μφ为该动力系数。其中而动荷载不作用在质量上时，体系不能用一个统一的动力系数来表示。由式(14-21)的第三项，有：命（14-27）（14-28）令和，则振幅A可写为（14-29）2.有阻尼的强迫振动动力系数μ不仅与频比β有关，而且还与阻尼比ξ有关。

动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在0.75<β<1.25共振区范围内，阻尼力大大地减小了μ的峰值。但在这范围以外，阻尼对μ的影响较小，可按无阻尼来计算。当θ>>ω时，则μ很小，表明质量m接近于不动或只作极微小的振动。

(1)阻尼对简谐荷载的动力系数μ影响较大简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：(2)在β=1的共振情况下,动力系数为

动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在考虑阻尼的影响时，共振时动力系数不是无穷大,而是一个有限值。在研究共振时的动力反应时，阻尼的影响是不容忽略的。

用求极值的方法确定μ的最大值发生在处,因ξ的值通常都很小，近似地将β=1时的值作为最大值。(3)μ最大值并不发生在β=1处。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图当β<1时，0<φ<π/2；当β>1时，π/2<φ<π；当β=1时，φ=π/2。

(4)

阻尼体系的位移y(t)=Asin(θt-φ)和干扰力F(t)=sinθt不同步，其相位角为φ。只要有阻尼存在,位移总是滞后于振动荷载。共振时,φ=π/2,位移方程式为y(t)=–ystμcosθtμ=1/(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξmω阻尼力为注意到共振时可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。共振时受力特点讨论:

为了减小动力放大系数μ，当β

=θ/ω<1时（称为共振前区），应设法加大结构的自振频率ω。这种方法称为“刚性方案”。当β

=θ/ω>

1时称为(共振后区)，这时，应设法减小结构的自振频率ω。这种方法称为“柔性方案”。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图讨论：采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨论一般动力荷载下的动力反应。1.强迫力为一般动力荷载--无阻尼(1)瞬时冲量的动力反应假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用完毕的瞬间，体系的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的质点获得速度而引起自由振动。

思考：体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？

根据动量定律，质点在瞬时冲量F·Δt作用下的动量变化为由于v0=0,所以有原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为的自由振动问题。由(14-30)得若冲击荷载不是在t＝0，而是在t＝τ时作用，则上式中的t应改为(t-τ)。(14-31)

由式(14-30)可得在t＝τ

时作用瞬时冲量S引起的动力反应。(14-30)(2)一般动力荷载F(t)的动力反应。把整个加载过程看成是由一系列瞬时冲量所组成的。在时刻t＝τ

作用的荷载为F(t)，此荷载在微分时段dτ内产生的冲量为dS=F(t)·dτ

。根据式(14-31)，此微分冲量引起的动力反应为：(g)对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：——称为杜哈梅(Duhamel)积分。

(14-32)

——(14-33)

式中第一、二项代表自由振动部分，第三项代表强迫振动部分。(14-32)如果初始位移y0和初始速度v0不为零，则总位移应为：2.几种动荷载的动力反应

(1)

突加长期荷载

o

F(t)t0F

突加长期荷载就是指突然施加于结构并继续作用在结构上的荷载，它可表示为：

如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式（h）代入式(9-32)并进行积分后，可得动力位移如下：

（h）

(14-34)

(14-32)当t=T/2时，[y(t)]max=2yst，动力系数为μ=2。位移时程曲线图

(14-34)

式中表示在静力荷载F0作用下所产生的静力位移。当突加荷载作用在系统上的时间超过t=T/2时就算作长期荷载,这时引起的最大动力位移为相应静力位移的两倍。

其特点是当t=0时，在质体上突然施加常量荷裁F0，而且一直保持不变，直到t=t1时突然卸去。

(2)突加短期荷载

体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶段分别计算再叠加。

第一阶段（0≤t≤t1）：此阶段与突加长期荷载相同，因此动力位移反应仍按公式(9-34)计算。

荷载可以看作突加长期荷载F0(图中坐标上方实线及所续虚线部分)叠加上t=t1

时突加上来的负长期荷载(－F0)(图坐标下方虚线部分)。(14-35)

第二阶段(t≥t1)：荷载可以看作突加长期荷载F0(图中坐标上方实线所续虚线部分)叠加上t=t1

时的负突加长期荷载(-F0)(图9中坐标下方虚线部分)。当t≥t1时，有第一阶段（0≤t≤t1）与突加长期荷载相同，动力位移反应为

质点位移反应可分为两个阶段按式（14-33）积分求得。(3)爆炸冲击荷载变化规律为第一阶段（0≤t≤t1）——(14-37)

第二阶段（t≥

t1）

当(t1／T)>0.4时，最大位移反应在第一阶段出现，否则就出现在第二阶段出。

从前面几种动力荷载作用下单自由度体系的位移反应可知，最大位移反应与与t1／T有关。

最大位移反应可用速度为零（即位移的导数）这个条件下的时间值来计算。3.当强迫力为一般动力荷载情况--有阻尼有阻尼体系在一般动力荷载F(t)作用时，其动力位移也可表示为杜哈梅积分。由于冲量S=mv0，故在初始时刻由冲量S引起的振动为

（9-46）单独由初始速度v0(初始位移为零)所引起的振动为把一般动力荷载F的加载过程看作是由无限多个瞬时冲量所组成，对t=τ到t=τ

+dτ的时间分段上的微分冲量dS=F(τ)dτ来说，它所引起的动位移为(t>τ)

积分后即得开始处于静止状态的单自由度体系有阻尼的受迫振动方程为

(14-47)3.3几点结论与讨论单自由度的固有频率平方等于k/m。阻尼比可由实验测得，一般结构阻尼比为0.05。由于阻尼的存在，自由振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）是减少振动的有效措施。对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可忽略阻尼影响。不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（m、k、），在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。动力系数取决于、频率比，当荷载作用在质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。对于线性体系，利用叠加原理可用Duhamel积分来求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法称为时域分析法。突加荷载的最大位移反应接近或等于2倍静位移。周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综合得到。非线性问题叠加原理不适用，Duhamel积分不能用，要进行时程分析来求数值解。利用三角函数和指数函数的关系，将荷载Fourier级数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。这种方法称频域法。3.3几点结论与讨论3.4频域分析法基本思路步骤1：将周期荷载展开成Fourier级数,求Fourier级数的各项系数步骤2：频率响应系数Hn,计算不同ωn

下的系数步骤3：频域响应转换到时域响应,求各模态叠加结果3.5地震响应分析和振动控制概述3-5-1地震作用

由于地面运动结构质量所产生的惯性力称为地震作用。结构的抗震设计首要解决地震作用的计算。

由于问题的复杂性,为了确定地震作用,必须对地震作用的影响因素进行归纳，从而对问题做出适当的简化。地震作用的影响因素地震作用不仅和地面运动有关,而且还和结构的动力特性有关；地面运动的特征(强度、频谱特征、持续时间等)受震源机制、地质条件等等影响；结构本身是个十分复杂的力学系统；结构和基础间的相互作用,其中许多影响因素目前还没有搞清楚的。地震地面运动是多维的，但经验表明地震的水平运动是导致结构破坏的主要因素。因此，要求抗震结构必须具有一定的抗侧力的强度、刚度、延性和耗能能力。在震中区、高烈度区的地震的竖向运动影响也较为显著，所以对一些大跨结构、高耸悬臂结构和靠自重平衡的结构，我国规定要考虑竖向地震作用。3-5-2地震作用理论由于问题的复杂性，地震作用理论的研究经历了一个艰难的发展历程1)静力理论这是本世纪初日本大森房吉提出的,为了简化他把结构视作刚体.

由于完全不考虑结构的变形，显然静力理论与实际不符。2)定函数理论这是原苏联扎夫里耶夫在大森房吉之后首先提出的“动力理论”。他将地震地面运动用确定的函数来描述。后来原苏联柯尔琴斯基又对其进行了修正,将地面运动假设为

该理论虽然克服了静力理论不考虑结构变形的缺点,但实际地面运动复杂的多,根本不能用确定函数来描述。3)反应谱理论以单自由度线性体系在实际地面运动作用下的反应为基础,对结构进行分析的“拟静力理论”。我国和许多国家的抗震设计规范都以这种理论为依据。4)时程分析理论以体系运动方程为基础，用数值积分方法求体系反应时间历程的“动力理论”(也称直接积分理论)。随着电算技术的发展,我国抗震设计规范已规定,对一些高层和大型重要建筑要用时程分析法进行补充计算，今后还将得到更广泛的应用和发展。5)其他理论地震、脉动风荷载等都是随机荷载，因此可以用随机振动理论来进行地震反应的统计特征分析。

从地震时结构不破坏条件下所能吸收的能量来进行设计。

但这些地震作用理论都还未被列入规范,因此都未能在抗震设计中普遍应用。单自由度体系的地震作用地震作用下结构运动方程设地面运动yg(t)横梁（质量m）相对地面位移为ym

EI基础水平激励下多自由度体系的运动方程3-5-3地震作用反应谱理论的基本假定地震作用反应谱理论基于三点假定：

●结构物的地基为一刚性盘体，因此基础各点的运动完全一致，没有相位差。对于一般建筑物其长度远小于地震波的波长，因此假设是可以的；而对于像大型水坝等很长的结构，本假定就不合理了。

●结构处于线性弹性状态。抗震规范规定当建筑物遭受低于本地区抗震设防烈度的多遇地震影响时，一般不受损坏或不需修理仍可继续使用。但结构进入非弹性工作阶段时，反应谱理论已不再适用。

●地震时的地面运动过程可以用地震记录来表示。虽然记录地震时地面运动的地震仪对运动的高频和低频部分有失真，但分析表明，这种失真并不影响地震反应谱的主要区段，基本能比较客观地反映地面运动变化规律。3-5-4地震作用分析地面运动的等效干扰力在零初始条件下的位移解答为体系的地震作用地震影响系数静力公式中加速度是地面运动的最大加速度，和结构没有关系；反应谱公式中的加速度是绝对加速度的最大值，其中相对加速度是体系的响应，它和体系的动特性有关。两种理论导出的地震作用公式一样，但意义却完全不同地震反应谱对于某一地面地震记录,相对位移、相对速度、绝对加速度的最大反应只是周期T和阻尼比的函数。如果固定阻尼比,则最大反应只和周期有关,将其称为该地震的反应谱相对位移反应谱D(T)

相对速度反应谱V(T)

绝对加速度反应谱A(T)。可通过计算或实测得到运动反应谱1940年Elcentro南-北地震加速度分量相对位移反应谱相对速度反应谱绝对加速度反应谱三种反应谱间的关系速度反应谱位移、加速度反应谱和准速度反应谱间有如下关系准速度反应谱记则其中可见图片表明周期小于3秒的两条反应谱很接近，而实测证明，绝大多数结构的基本周期都小于3秒。所以，近似公式是成立的。三个反应谱知其一，就可方便地求得另两个反应谱地震反应谱的标准化

地震反应谱随地面运动的不同而变化，不同次地震的反应谱是不同的，同一次地震不同地点由于地质条件的不同，地面运动也是不同的，因此地震反应谱也不同。工程抗震所要设计的建筑场地未来的地震更是无法预知的，自然无法得到其地震反应谱。由大量地震记录计算获得的反应谱却有如下共同的特征：1阻尼对减少反应谱峰值有很大作用；2速度反应谱在相当宽的周期范围内接近于一定值；3加速度反应谱当周期稍长时谱值随周期反比下降。利用众多的地震记录算得其平均反应谱作为设计的依据，这个平均反应谱称为标准反应谱。C.W.Housner所建立的平均速度反应谱C.W.Housner所建立的平均加速度反应谱从两个反应谱图可见：

1、阻尼对消减反应谱峰值有很大作用；

2、速度反应谱在相当宽的频带内趋于水平；

3、加速度反应谱当周期稍长时，显示谱值有与周期成反比例下降的趋势。C.W.Housner所建立的平均速度反应谱C.W.Housner所建立的平均加速度反应谱三种反应谱的变化趋势在极端情况：

当周期很短时,由于加速度仪严重失真,因此反应谱的这一段误差较大.但作为极端情况T=0,此时体系为刚体,无相对位移和速度,所以D=V=0，而amax=|üg|max

。

当周期很长时,系统刚度很小,质点相当于空中定点,地面运动时处于不动的状态.此时D=|yg|max

。另两反应谱可由三反应谱关系得到。抗震设计反应谱

抗震设计主要工作之一是确定地震作用,然后将地震作用按静力作用于结构，进行结构强度和刚度验算。

单自由度体系的地震作用为为地震影响系数我国抗震设计规范给出了地震影响系数和体系周期的关系曲线---地震影响系数；---地震影响系数最大值；---结构周期；---特征周期；关于振型组合问题1、地震内力计算

由各振型的地震作用反应函数可求得各振型的内力反应函数。考察在地震作用下的某截面内力

用上述公式计算最大内力反应显然不便于工程抗震设计应用。为此,利用反应谱确定各振型地震反应影响函数的最大值jmax=j(T)，则可求得各振型的最大地震内力1)平方和开方的组合方案(SRSS法)因为各振型最大内力并不同时出现，因此存在一个如何用振型最大内力组合来估计最大地震内力的振型组合问题。介绍两种常用组合方案

这个方案适用于稀疏型频谱的结构内力组合。对稀疏型频谱的一般刚性结构，取前三个振型进行计算并组合即可。对较柔的高层、高耸结构要多取一些振型计算和组合。2)完全二次型组合方案(CQC法)耦连系数j、i振型频率比

这个方案适用于密集频谱型结构的内力组合。对密集型频谱的结构，一般取前9～15个振型进行计算并组合即可。因为这是一种非线性组合，因此组合以后的地震内力和地震作用不相对应。结构对策的发展和结构振动控制的概念结构振动控制是当前结构工程的高科技领域之一。从是否需要外界输入能量，可分为被动控制、主动控制和半主动控制及其混合使用。被动控制理论和实际应用已趋于成熟，我国抗震设计规范中已增加了隔震和消能减震一章。主动控制和半主动控制根据外界输入、系统响应来确定所需输入能量，驱动作动器施加控制力来减小结构振动。结构对策的发展从工程结构设计角度出发，结构对策的发展可分四个阶段：经验对策分析对策综合对策控制对策1.经验对策阶段在古代，人们建造了许多工程结构，有些至今仍可称为伟大的工程结构。我国李冰父子组织兴建于秦朝(前221一前202)的四川灌县都江堰，以卵石竹笼堆砌成堤，分岷江为两道。隋朝(581—618)大业年间，卓越匠师李春在河北赵县建造了一座跨度37m的石拱桥(即著名的安济桥)等等工程。当时没有力学和结构设计理论，工程结构的建造都是凭借经验估计和判断，属经验对策(experiencecountermeasure)阶段。

2．分析对策阶段

18世纪在英国开始的工业革命使生产技术迅速发展，到19世纪初，资本主义经济的发展，促使建筑、交通和水利工程等得到高速发展，从而提出和逐步发展了结构设计分析的一些理论，总的来说设计的方法和过程可表示为

S≤R式中：S为结构构件的效应(内力、变形等)

R为抗力。这就是分析设计对策(analysisdesigncountermeasure)阶段。3．综合对策阶段每一个结构工程师在满足式(S≤R)的条件下可有各不相同的设计方案，这些方案自然存在优劣之分。因此便产生了如何寻求最优设计方案，也即结构优化设计问题。结构优化设计是20世纪50年代末开始研究并逐步发展应用于工程设计的方法。结构优化设计就是综合考虑各方面因素的设计对策，也即综合对策(synthesiscountermeasure)阶段。

4．控制对策阶段振动控制技术在航空、航诲和机械工程中早就得到应用。但直到1972年美国普渡大学YaoJTP教授提出结构控制的概念，才将控制理论和控制系统用于结构工程，使结构和控制系统共同抵御外界环境的作用，达到控制结构性态的目的，这就是结构设计的控制对策(controlcountermeasure)。它是一种积极主动的设计对策。

目前结构体型正向着高耸、大跨方向发展，所用材料向轻质高强方向发展，这就导致结构变形和振动等加大。采用控制对策，可以根据不同外界荷载变化和结构的响应自动调节控制作用，使结构性态满足安全性和功能性的要求。因此，研究结构振动控制具有重大的理论意义和实用价值。结构振动控制的概念

在结构上施加控制系统。由结构和控制系统共同抵御外界动荷载的作用，达到减轻结构动力响应的目的，这就是结构振动控制，简称为结构控制(structrualcontrol)。结构控制可分为被动控制(passivecontrol)

主动控制(activecontrol)

半主动控制(half-activecontrol)

混合控制(hybridcontrol)结构振动控制被动控制主动控制半主动控制混合控制隔震、耗能、吸振主动拉索主动支撑主动质量阻尼变刚度半主动变阻尼半主动变刚度变阻尼半主动被动与主动混合被动与半主动混合主动与半主动混合

●被动控制和主动控制的区别在它不需要外部输入能量，因此也称无源控制。通过控制系统改变结构系统的动力特性，达到减轻动力响应的目的。

●主动控制则需要通过外部输入能量提供“控制力”，控制过程依赖于外界激励和结构响应信息。

●半主动控制基本上属于被动控制范畴。它利用结构响应或外界激励信息，通过输人少量能量以改变控制系统的性态，达到改变结构系统动力特性减轻响应的目的。结构被动控制概述被动控制是一种无源控制方法，其理论研究和工程实践经验都趋于成熟。基底隔震

基底隔震通常用于低矮的刚性结构的防震减灾。基底隔震的基本思路是，在结构和基础之间设置隔离层，从而改变隔震体系的动力特性，使地面运动(或震动源)的能量尽可能耗散在隔震层上，使结构所吸收的能量大为减少，以保证结构安全工作。工程中常用的基底隔震法

●沙粒隔震层在结构和地基之间铺一层均匀的一定粒径的沙粒，使结构和地基隔离，当发生地震时通过摩擦消耗能量，减少结构振动。也可用滚珠或轴承等进行隔震。统称滑移隔震。此方法简单、便宜，但仅适用于低矮、小型结构，而且结构与地基之间的位移无法复位。

●橡胶垫或粘滞阻尼材料隔震装置叠合橡胶垫隔震支座是目前使用最多的隔震装置。

●短柱隔震支座包括钢筋混凝土柱和悬臂压弯钢柱，或悬臂钢管混凝土柱、钢管灌铅柱。支座垫层钢板支座上盖支座底座短柱耗能装置●铅挤压耗能器(leadcompressiondissipater)

铅是一种结晶金属，发生塑性变形时晶格被拉长或错动，一部分能量将转换成热量，另一部分能量为促使再结晶而消耗，使铅回到非变形的弹性状态。结晶过程在常温下进行，耗时短且无疲劳现象，因此具有稳定的耗能能力。●铅挤压耗能器(leadcompressiondissipater)●摩擦耗能支撑(friction-dampedbracedframe)

摩擦耗能器是一种可产生滑动的机构。设计时使其在小震时不产生滑动。当经受强风和罕遇地震时，以保证主要受力构件不屈服而机构产生滑动为目标设计、布置摩擦耗能器，达到减小振动的目的。

由循环荷载下装置的实验研究可知，摩擦耗能支撑具有滞回曲线呈矩形、耗能能力强、效果稳定等特点。●粘弹性耗能器(viscoelasticdissipater)

粘弹性材料具有弹性和粘性特性，在一定范围内，由弹性可回到原始状态。同时它还具有一定的抗剪能力不像弹性材料因变形储存应变能，而是将其转换成热能消耗掉。它的典型滞回曲线与摩擦耗能器相似。结构安装耗能装置后，将改变结构的刚度、阻尼，因此结构的运动方程应作相应修改。减震装置●吸振原理如果则有F01sin(t)k2m2ABk1m1●调频质量阻尼器(tunedmassdamper简称TMD)

(1)质量块。TMD利用质量块与结构的相对运动加速度(以惯性力抵消部分地震作用)来达到减震的目的。实际工程中可利用建筑物水箱、混凝土块、装铅钢箱或环绕结构的装铅钢圈等等作为质量块。一般来说，质量块越大，减震效果越好。但实际工程中TMD大小有一定限制，TMD质量和主结构质量之比在0.005-0.02之间。

(2)弹簧系统。弹簧系统的作用是调整TMD的自身频率，使之与结构被控