高等数学下第八单元

高等数学下第八单元第一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二

第八章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念第二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束第三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.第四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二D(2)开区域及闭区域若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E;第五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例如，在平面上开区域闭区域机动目录上页下页返回结束第六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二3.n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的记作即机动目录上页下页返回结束一个点.第七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束第八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元函数,记作机动目录上页下页返回结束第九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球.第十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二三、多元函数的极限定义2.

设n

元函数点,则称A

为函数(也称为n

重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数

,总存在正数,切第十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例1.

设求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要证第十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.

讨论函数函数机动目录上页下页返回结束第十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二四、多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数机动目录上页下页返回结束连续,连续的等价定义：第十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

上间断.

故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.函数如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上连续.第十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则机动目录上页下页返回结束在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:第十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二解:原式例2.求例3.

求函数的连续域.解:机动目录上页下页返回结束第十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n

元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束第十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续机动目录上页下页返回结束第十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二

作业P512(4),(5);36(2),(4)第二节目录上页下页返回结束第二十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二第二节机动目录上页下页返回结束一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数与全微分

第八章三、全微分第二十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:一、偏导数定义及其计算法第二十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二同样可定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为机动目录上页下页返回结束或

y

偏导数存在,第二十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)第二十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的第二十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!同理第二十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二注意：函数在某点连续,但偏导数不一定存在.例如,上节例目录上页下页返回结束f(x,y)在点(0,0)偏导数不存在!几何上表示圆锥面，是其尖点.显然点是连续的，在不存在不存在事实上,第二十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束第二十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例2.

设证:求证机动目录上页下页返回结束第二十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二偏导数记号是一个例3.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动目录上页下页返回结束整体记号,第三十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动目录上页下页返回结束数:第三十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例4.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数.第三十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例如,二者不等机动目录上页下页返回结束第三十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二则证明目录上页下页返回结束定理1.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)第三十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二三、全微分定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D

内可微.第三十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即第三十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定理2.(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束第三十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二反例:函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理2的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束第三十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定理3(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束第三十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有第四十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动目录上页下页返回结束第四十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例5.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例6.计算函数的全微分.解:

机动目录上页下页返回结束第四十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二可知当全微分在数值计算中的应用近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)第四十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例7.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

机动目录上页下页返回结束求此圆柱体第四十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例8.计算的近似值.

解:设,则取则机动目录上页下页返回结束第四十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动目录上页下页返回结束第四十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二3.微分定义:4.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束第四十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二5.微分应用•近似计算机动目录上页下页返回结束作业

P551(2),(4)，(5);2;4;9第四十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二第三节本节内容:一、多元复合函数微分法二、多元隐函数微分法机动目录上页下页返回结束多元复合函数

第八章和隐函数的微分法第四十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二一、多元复合函数微分法定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:(略)且有链式法则机动目录上页下页返回结束(全导数公式)第五十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.（定义求）（定义求）第五十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束第五十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y

对x

求导,表示固定v

对x

求导与不同,机动目录上页下页返回结束第五十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例1.设解法1机动目录上页下页返回结束第五十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例1.设解法2机动目录上页下页返回结束第五十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例2.解法1机动目录上页下页返回结束第五十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例2.解法2机动目录上页下页返回结束第五十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二为简便起见,引入记号例3.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束第五十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二二、多元隐函数微分法机动目录上页下页返回结束两边对x求导当则1、第五十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例4.已知可确定隐函数解:

令则机动目录上页下页返回结束求第六十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二两边对x求导另一求法—利用等式两边直接求导法机动目录上页下页返回结束同理再求导，得第六十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二两边对x求偏导同样可得则机动目录上页下页返回结束2、当第六十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例5.设机动目录上页下页返回结束解法1

利用公式法设则两边对x求偏导第六十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束解法2利用等式两边直接求导法同理再对x求偏导，得例5.设第六十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二内容小结1.多元复合函数微分法例如,机动目录上页下页返回结束2.多元隐函数微分法方法1.方程两边同时求导法(复合函数求导法);方法2.隐函数求导公式法.第六十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束作业

P591(1),(4)；6(1)，8第六十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二第四节复习目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用第八章第六十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程在点有机动目录上页下页返回结束第六十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二一、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动目录上页下页返回结束位置.空间光滑曲线在点M

处的切线为此点处割线的极限平面.第六十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二1.曲线方程为参数方程的情况切线方程机动目录上页下页返回结束第七十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.机动目录上页下页返回结束不全为0,因此得法平面方程第七十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:

由于对应的切向量为在机动目录上页下页返回结束,故第七十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为机动目录上页下页返回结束第七十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二法平面方程机动目录上页下页返回结束则在点切线方程有第七十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例2.

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.机动目录上页下页返回结束方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量得解:第七十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束第七十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二二、曲面的切平面与法线

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.机动目录上页下页返回结束上过点

M

的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.第七十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二证:机动目录上页下页返回结束在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.第七十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二曲面

在点M的法向量法线方程切平面方程复习目录上页下页返回结束第七十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,

当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程机动目录上页下页返回结束第八十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例3.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束第八十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例4.确定正数

使曲面在点解:二曲面在

M

点的法向量分别为二曲面在点M

相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录上页下页返回结束,因此有第八十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二1.空间曲线的切线与法平面

切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结机动目录上页下页返回结束第八十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二空间光滑曲线切向量2)一般式情况.机动目录上页下页返回结束法平面方程切线方程第八十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束第八十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二空间光滑曲面切平面方程法线方程法向量机动目录上页下页返回结束2）显式情况.第八十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:

设切点为则机动目录上页下页返回结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)第八十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:

在曲面上任意取一点则通过此

作业

P672，3，5,82.设

f(u)可微,第七节目录上页下页返回结束证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为第八十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二第五节一、方向导数

机动目录上页下页返回结束二、梯度方向导数与梯度第八章第八十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二一、方向导数机动目录上页下页返回结束设点的某邻域有定义，则射线的参数方程为为始点的一条射线，为以同方向的单位向量，是与令第九十页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定义:则称若下列极限存在:机动目录上页下页返回结束记作为函数在点

处沿方向l

的方向导数.（)•当l与x轴同向•当l与x轴反向第九十一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定理:在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有得机动目录上页下页返回结束故若在点可微，则函数为l的方向角.其中在点可微，第九十二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束对于三元函数)的方向导数为在点(方向角为沿方向l(）第九十三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:

向量

l

的方向余弦为第九十四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为机动目录上页下页返回结束第九十五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束第九十六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束第九十七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束向量第九十八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束第九十九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在•可微机动目录上页下页返回结束第一百页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二P732，3，6作业第八节目录上页下页返回结束第一百零一页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二

第八章第六节一、二元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动目录上页下页返回结束二元函数的极值第一百零二页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二一、二元函数的极值

定义:

若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束第一百零三页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值

但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束第一百零四页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束第一百零五页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束第一百零六页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束第一百零七页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例2.讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束第一百零八页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二二、最值应用问题函数f

在闭域上连续函数f

在闭域上可达到最值

最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束第一百零九页，共一百二十页，编辑于2023年，星期二例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省