向量与向量的线性组合

向量与向量的线性组合第一页，共二十四页，编辑于2023年，星期二（一）向量及其线性运算二维向量二元有序数组（x,y）(x,y)0三维向量三元有序数组（x,y,z）n维行向量n元有序数组ai

的第i个分量n维列向量1.定义第二页，共二十四页，编辑于2023年，星期二分量为实数的向量称为实向量；分量为复数的向量称为复向量。负向量n维(基本)单位向量：零向量特殊向量：或第三页，共二十四页，编辑于2023年，星期二2.

运算相等加法减法数乘k(k>1)k(k<0)设第四页，共二十四页，编辑于2023年，星期二向量的加法与数乘满足下列运算规律：3.运算律对于所有n维向量组成的集合，按定义的加法和数乘，满足八条运算法则，我们称这个集合对规定的加法和数乘构成一个n维向量空间。记为Rn.定义3.4（P.122（126）)与矩阵的加法、数乘运算律同。第五页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例（P.123（127））解第六页，共二十四页，编辑于2023年，星期二用向量的观点看矩阵则或第七页，共二十四页，编辑于2023年，星期二用向量的观点看线性方程可写成：即线性方程组的向量表示系数列向量第八页，共二十四页，编辑于2023年，星期二令称为满足方程的一个解向量。第九页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例（P.110(113))方程组若记方程组有解使得第十页，共二十四页，编辑于2023年，星期二（二）向量组的线性组合问题的提出：线性方程组可用向量表示为方程组是否有解的问题归结为：是否存在一组数使得上式成立。则称是向量组的线性组合或称可由向量组线性表示（或线性表出）定义3.5（P.124(128)）对于给定的向量若存在一组数使得可否全为零？1.定义如前例第十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例（P.124例3(129例2)）零向量是任何向量组的线性组合。设任一向量组为，一些常用结果零向量数零第十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期二n维单位向量组（基本向量）：例

（P.124例2(129例1)）任何n维向量都可由n维基本单位向量组线性表示。

例

（P.125例4（129例3））向量组中任一向量都可由这个向量组线性表出。因为组内向量可由本组向量表示第十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期二2.能否表示的判定定理及求组合系数的方法对比线性方程组的向量表示：及线性组合的定义：知，

是否为向量组的线性组合，等价于方程组有无解，等价于

r(A|)是否等于r(A)。设其中第十四页，共二十四页，编辑于2023年，星期二定理3.3

（P.124（128））

可由向量组线性表示以向量j为列！注意：若，j是行向量，则须组合系数为方程组的解。思考题：若可由向量组线性表示，问：“表示”是否唯一？列向量，行变换！第十五页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例5P.125判断向量是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。解(1)（表示唯一吗？）第十六页，共二十四页，编辑于2023年，星期二(2)第十七页，共二十四页，编辑于2023年，星期二练习设R3中的向量判断能否由1，2，3线性表示？若能，写出一个表示式。解若不需写出“表示式”，则不必化行简化阶梯形矩阵。（表示式不唯一，为什么？）第十八页，共二十四页，编辑于2023年，星期二取x3=0,得x1=5,x2=-1.于是得线性表示式：再求一表示式取x3=1,得x1=6,x2=-3.第十九页，共二十四页，编辑于2023年，星期二定义

设有两个向量组•若向量组(A)的每个向量都可由向量组(B)中的向量线性表出，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表出。三、两个向量组之间的关系

(P.125(137))即•若向量组(A)与向量组(B)可互相线性表出，则称它们等价。(定义3.6）第二十页，共二十四页，编辑于2023年，星期二线性表出的传递性：(A)可由(B)线性表出，(B)可由(C)线性表出，(A)可由(C)线性表出。设定理3.4（P.126（137定理3.8））证略第二十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例6P.126判断下列向量组是否等价解因为所以(B)可由(A)线性表示。又所以(A)可由(B)线性表示。故向量组(A)与(B)等价。(C)可由(A)线性表示:但(A)不能由(C)线性表示:因不能由(C)线性表示故(A)与(C)不等价，由此(B)与(C)也不等价。为什么？第二十二页，共二十四页，编辑