第6章空间力系和重心

力系力力偶平面，矢量，两个分量空间，矢量，三个分量平面，代数量空间，矢量，三个分量第6章

空间力系和重心空间汇交（共点）力系空间平行力系空间力偶系空间任意力系当力系中各力的作用线不处于同一平面时，称其为空间力系。§6–1空间汇交力系的合成与平衡§6–2力对点的矩和力对轴的矩§6–3空间力偶系的合成与平衡内容提要空间力在轴上的投影空间汇交力系的平衡方程空间力对轴的矩空间力偶系的平衡方程直接投影法1、力在直角坐标轴上的投影§6–1空间汇交力系的合成与平衡当空间力系中各力的作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系。间接（二次）投影法2、空间汇交力系的合力与平衡条件合矢量（力）投影定理空间汇交力系的合力

合力的大小空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程.该力系的合力等于零，即由上式得方向余弦

空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.

空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.例已知：、、求：力在三个坐标轴上的投影.β例求：三根杆所受力.已知：F=1000N,各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。由解得（压）（拉）FF1、

力对点的矩以矢量表示——力矩矢§6–2

力对点的矩和力对轴的矩(3)作用面：力矩作用面.(2)方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为又则FyFz力矩矢为定位矢量：其始端必须在矩心，不可任意挪动。2.力对轴的矩

力F对轴的矩等于此力在垂直于该轴平面上的投影（分力）对该轴与此平面交点的矩.

正负号的规定：从Z轴的正向看，若：力使物体绕Z轴逆时针转为+；力使物体绕Z轴顺时针转为

-hzodabABFPFxy讨论:(a)当力的作用线与轴平行或相交，即力与轴位于同一平面时力对该轴的矩等于零。(b)当力沿其作用线移动时,它对轴的矩不变。(c)在平面力系中,力对力系所在平面内某点的矩,就是力对通过此点且与力系所在平面垂直的轴的矩。mz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd（d）力F对轴的矩等于此力在垂直于该轴平面上的投影（分力）对该轴与此平面交点的矩.3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系已知：力,力在三根轴上的分力，，，力作用点的坐标x,y,z求：力对x,y,z轴的矩=0==+0-==-+0=比较上面几式得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩.=0=例已知：求：解：把力分解如图手柄ABCE在平面Axy内，力F在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为θ，CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB=BC=l。§6–3

空间力偶系的合成与平衡1、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。

（2）方向：转动方向；力偶矩矢2、力偶的性质力偶矩因

（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零.

（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.===(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.====(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡.定位矢量力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量3．力偶系的合成与平衡条件==有为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.如同右图合力偶矩矢的大小和方向余弦称为空间力偶系的平衡方程.简写为有空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，即

∑前课回顾主矢主矩合成结果说明合力此力为原力系的合力，合力作用线通过简化中心合力合力作用线与x轴交点坐标力偶此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。平衡与简化中心的位置无关。平面任意力系简化结果的讨论§6–4

空间任意力系的简化·主矢与主矩§6–5

空间任意力系的平衡内容提要空间任意力系的简化——主矢与主矩空间任意力系简化的最终结果空间任意力系的平衡§6–4

空间任意力系的简化·主矢与主矩1．

空间任意力系向一点的简化其中，各，各一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.F1FiFn实质：空间任意力系=空间汇交力系+空间力偶系称为空间力偶系的主矩。称为力系的主矢；空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有对，，轴的矩。式中，分别表示各力空间汇交力系的合力（1）

合力最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为2．

空间任意力系的简化结果分析（最后结果）当时，当最后结果为一个合力.合力作用点过简化中心.合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。（2）合力偶当时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。（3）力螺旋当∥时力螺旋中心轴过简化中心当成角且既不平行也不垂直时力螺旋中心轴距简化中心为（4）平衡当时，空间力系为平衡力系§6–5

空间任意力系的平衡空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.1.空间任意力系的平衡方程

空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。空间任意力系有6个独立的平衡方程，可求解6个未知量。为求解简便，每个方程最好只包含一个未知量——一元一次方程。关键：选合适的投影轴和取矩轴。选投影轴时，应尽量与其余未知力垂直；选取矩轴时，应尽量与其余的未知力平行或相交。投影轴不必相互垂直；取矩轴也不必与投影轴重合。力矩方程的数目可取3个至6个。讨论(a)对于空间汇交力系恒成立(b)对于空间力偶系恒成立则其平衡方程为:则其平衡方程为:空间任意力系的平衡方程(c)空间平行力系的平衡方程:Fz=0mx(F)=0my(F)=0Fy0Fx0mz(F)02.空间约束类型举例3.空间力系平衡问题举例空间任意力系的平衡方程例题1.一不计重量的正方形薄板,由六根直杆支持如图所示.假设这六根杆都可以看作两力杆,求在力P作用下各杆的内力.PaaADBCD'A'B'C'amB'B(Fi)=0F5=-mC'C(Fi)=0mD'D(Fi)=0PaaADBCD'A'B'C'aF1F2F3F4F5F6解：取薄板为研究对象画受力图mAD(Fi)=0F6=-PmCD(Fi)=0F1=-PmB'C'(Fi)=0aF1+aF4=0F4=PPaaADBCD'A'B'C'aF1F2F3F4F5F6例题2.边长为a的正方形薄板由六根连杆支持如图所示.不计板的重量,并把连杆看作二力杆.求当板上有一力偶M作用时各杆的内力.aADBCD'A'B'C'123456MmD'D(Fi)=0mB'B(Fi)=0Fy=0F3=0aADBCD'A'B'C'F1F2

F3F4F5F6M解:取薄板为研究对象画受力图.mCD(Fi)=0mAD(Fi)=0mAC(Fi)=0bF4=0F4=0aADBCD'A'B'C'F1F2

F3F4F5F6M例题3.边长为a的正方形薄板由六根连杆支持如图所示.不计板的重量,并把连杆看作二力杆.求当板上有一力P和一力偶M作用时各杆的内力.aADBCD'A'B'C'123456MPFy=0F3=-PmA'A(Fi)=0mA'D'(Fi)=0aADBCD'A'B'C'F1F2F3F4F5F6MP解:取薄板为研究对象画受力图mD'D(Fi)=0mC'D'(Fi)=0mAC(Fi)=0aADBCD'A'B'C'F1F2F3F4F5F6MP重点难点空间任意力系的简化结果（合力、合力偶、力螺旋、平衡）空间任意力系的平衡方程（投影方程和力矩方程）关键：选合适的投影轴和取矩轴。选投影轴时，应尽量与其余未知力垂直；选取矩轴时，应尽量与其余的未知力平行或相交。作业P119:6-12预习§6-6

重心和形心的坐标公式§6-7确定重心和形心位置的具体方法oxyz一，重心坐标的一般公式§6-6

重心和形心的坐标公式空间平行力系的合力P,合力的作用线通过物体的重心CCoxyzCx1y1z1xiyizizCxCyCoxyzCx1y1z1xiyizizCxCyC二,均质物体的重心坐标公式△Vi

表示第

i小块的体积单位容积的重量（容重）

=常数重心坐标的公式三，均质等厚薄板的重心和平面图形的形心均质等厚薄板的重心只与平面形状有关，而与厚度无关§6-7确定重心和形心位置的具体方法一，积分法均质物体重心和形心位置的公式平面图形形心位置的公式例6-1求半圆形的形心位置xy2R解：只须确定形心的y

坐标ydyb(y)xy2Rydyb(y)C二，组合法例题求图示平面图形的形心.5m5m15m15m20m5m5m15m15m20m取坐标如图且把平面图形分为A

和B

两部分.yxABC2C15m5m15m15m20myxABC2C15