实验数列极限与生长模型

实验数列极限与生长模型第一页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型其中为某一生物种群的第n代的个体总量与该群体所能达到的最大个体总数之比,(n=1,2,3,···)，k为比例常数。先对方程作简要的说明，记该生物群体第n代的个体总量为Mn（n=0，1，2，3，···）由于受生存条件的制约，该群体的个体总量不可能无限增长，设其上限为（根据统计数据和经验估算确定），

第二页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型又假设第n+1代的总量Mn+1与Mn呈正比，且M与Mn之间呈正比，即其中K为比例常数。在上式两端同除以M，并将分别记作pn和pn+1，再由KMn=KMpn并记KM为k为就得到方程（1）。这个方程给出了pn和pn+1之间的递推关系。第三页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型选定初值p0和比例系数k的值后，由方程(1)就能生成一个数列生物学家为了预测群体总量的变化情况，就要研究这个数列。他们感兴趣的问题是:这个数列存在极限吗?数列中的项会出现周期性的变化情况吗?数列中的项会呈现无法预测的紊乱情况?本实验依赖Mathematica的计算和作图功能，来考察数列的不同变化情况。从而使读者对数列的不同变化趋势获得较为生动认识，加深对数列的理解·第四页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型实验步骤写一个可用于计算数列的前n项的程序，如下程序可用于这个目的：第五页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型现在令p0=0.5，k取1和3之间两个不同的值，执行上述程序，观察图形显示的数列变化趋势，我们给出k=1.5和2.5的结果显示：（1）k=1.5时，我们键入：第六页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型运行后输出如图（1）第七页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型（2）k=2.5时，在运行了（1）的程序后（请注意：这里及其以后的实验都是按次序进行的，执行新程序前，先用“Clear”命令清除变量的值）我们再键入：这两个数列看起来是收敛的，这表明：种群中的个体总量趋于一个稳定的值。运行后输出如图（2）第八页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型第九页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型请读者再给以开区间（0，1）内的不同值，而保持上面取定的k值不变，观察所得的结果并回答：数列的极限是否依赖于所取得值？又是否依赖于k所取的值？为什么当1<k<3时，由（1）式能生成收敛数列呢？回答这个问题要用到微分学的知识，对这个问题的部分回答请见第二章的总复习题23题。第十页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型2.再让k取3和3.4之间的值，观察数列出现何种变化，以下给出的情况，我们键入：运行后输出见图（3）第十一页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型为了把数列收敛的变化情况显得更清楚，我们把上面的点用折线连接起来，为此只要在“ListPlot”中加选项“PlotJoined->True”，即只要键入：运行后如图（4）

第十二页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型4．最后让k取3.6和4之间的值，计算100次并画出数据点图和折线图，观察此时数列的变化情况，即键入：运行后如图5（a）（b）第十三页，共十四页，编辑于2023年，星期二数列极限与生长模型可见这时数列变化的情况变的很紊乱。这里特别指出一种值得注意的现象：现在若给批p0的值一个微小的变动，比如增减0.001