2021年吉林省长春市市九十八中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年吉林省长春市市九十八中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点在上，

.则向量等于A．B．C．D．参考答案：B2.已知，则的值为

（

）A、

B、0

C、64

D、63参考答案：D3.若不等式

，则实数a=

（

）

A．2

B．1

C．0

D．—1参考答案：A4.（5分）已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，则=（）A．1B．

C．2D．参考答案：D【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：运用坐标求解，=（x，y），得出x﹣2y=﹣5，根据夹角公式得出=，即=，整体代入整体求解即可得出=2．选择答案．

解：设=（x，y）∵，，∴4=（﹣1，2），|4|=，∵，∴﹣x+2y=5，即x﹣2y=﹣5，∵向量满足与的夹角为120°∴=，即=，∵=，∴=2．故||=2，故选：D．【点评】：本题综合考查了平面向量的数量积的运算，运用坐标求解数量积，夹角，模，难度不大，计算准确即可完成题目．5.设,则“”是“为偶函数”的

（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A6.已知cos（﹣α）=，则sin（α﹣）cos（﹣2α）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】构造思想，利用诱导公式化简即可得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，可得，cos（﹣α）=，即sin（﹣α）=﹣，那么sin（α﹣）=．cos（﹣2α）=cos2（）=cos2（）=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×=﹣．∴sin（α﹣）cos（﹣2α）=．故选：B【点评】本题主要考查了构造思想，诱导公式的灵活运用能力．属于基础题．7.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(1)＝0，则不等式的解集为A．(－∞，－1]∪(0,1]

B．[－1,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,0)∪(0,1]参考答案：C8.对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

） A、 B、

C、或 D、或参考答案：A9.已知条件，条件则p是成立的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略10.过点作圆的切线l，则l的方程为（

）A. B.或C. D.或参考答案：C【分析】将圆的方程配成标准式，可判断点在圆上，根据过圆上一点的切线方程为整理可得.【详解】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故选：【点睛】本题考查求过圆上一点的切线方程，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则关于有下列命题，①函数是奇函数；②函数不是周期函数；③函数的图像关于点中心对称；④函数的最大值为.其中真命题是_________.

参考答案：③12.为等比数列，若和是方程＋＋＝的两个根，则＝________。参考答案：略13.已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为

．参考答案：

14.在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．参考答案：【考点】点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题．【分析】根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果．【解答】解：直线ρ（cosθ+sinθ）=2直线ρcosθ+ρsinθ=2∴直线的一般是方程式是：x+y﹣2=0∴点（1，0）到直线的距离是故答案为：【点评】本题考查点到直线的距离公式和简单的极坐标方程，本题解题的关键是把极坐标方程转化成一般式方程．15.某几何体的三视图(单位：cm)如图，则这个几何体的体积为

▲cm3

；参考答案：略16.考虑函数与函数的图像关系，计算：__________．参考答案：

17.在的展开式中，若第项的系数为，则

.参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分）已知函数在处取得极小值2．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；新课

标

第

一网（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．参考答案：（1）∵函数在处取得极小值2∴

……1分又∴

由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意∴，代入①式得m=4

∴

……2分经检验，当时，函数在处取得极小值2

……3分∴函数的解析式为

……4分http://w（2）∵函数的定义域为且由（1）有令，解得：

……5分∴当x变化时，的变化情况如下表：

……7分x-11—0+0—减极小值-2增极大值2减∴当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2

……8分（3）依题意只需即可．∵函数在时，；在时，且∴由（2）知函数的大致图象如图所示：∴当时，函数有最小值-2

又对任意，总存在，使得http://∴当时，的最小值不大于-2

又

①当时，的最小值为∴得；

②当时，的最小值为∴得；

③当时，的最小值为∴得或又∵∴此时a不存在

……12分综上所述，a的取值范围是．

……13分19.

已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为．

(I)求椭圆C1的方程；(Ⅱ)过抛物线C2：(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得，椭圆的方程为.…4分（Ⅱ）设，由，抛物线在点处的切线的斜率为,所以的方程为,……………5分代入椭圆方程得,化简得又与椭圆有两个交点，故

①设，中点横坐标为，则,

…8分设线段的中点横坐标为,由已知得即，

②………………10分显然,

③当时，，当且仅当时取得等号，此时不符合①式，故舍去；当时，，当且仅当时取得等号，此时，满足①式。综上，的最小值为1.………………12分略20.（12分）已知函数

（1）若上存在反函数，求实数a的取值范围；

（2）在时，解关于x的不等式参考答案：解析：（1）的对称轴为x=a若在[1，2]上单调递增或递减，则存在反函数，于是或.………………（5分）

（2）由

（1）时，则原不等式解为：

（2），原不等式化为

（3）时综合所述，原不等式解集为：（1）时为

（2）；

（3）………………（12分）21.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点．参考答案：【考点】抛物线的应用．【分析】（Ⅰ）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），所以．得到抛物线方程为y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t2=32．所以（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）联立方程，化简得ky2﹣4y+4b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据韦达定理得到，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以得到，即xAxB+2yAyB=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得到，化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=﹣32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为，所以y=kx﹣8k，即y=k（x﹣8）．综上所述，直线AB过定点（8，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.参考答案：解法一:(Ⅰ)证明:如图1,由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB.又PA=AB,故△PAB为等腰直角三角形,而点E是棱PB的中点,所以AE⊥PB.由题意知BC⊥AB,又AB是PB在面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE.因AE⊥PB,AE⊥BC,所以AE⊥平面PBC.图1(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE.在Rt△PAB中,