典型例题与习题4

数值求积公式及代数精度数值求导方法与截断误差一阶常微分方程数值法局部截断误差与精度《数值分析》典型例题

IV典型例题与习题4插值型求积公式:求积系数求积余项等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度2/16求积结点典型例题与习题41.梯形公式复合梯形求积公式

令h=(b-a)/n求积余项3/162.辛卜生公式典型例题与习题4求积余项:

两点高斯型数值求积公式4/16练习:复合辛卜生公式求积余项?典型例题与习题4一阶向前差商一阶向后差商二阶中心差商一阶中心差商5/16典型例题与习题4外推算法练习：二阶中心差商的外推公式？6/16典型例题与习题41.Euler方法

常微分方程初值问题2.梯形公式:

7/16典型例题与习题4预测-校正公式局部截断误差设

yn=y(xn),称Rn+1=y(xn+1)-yn+1为局部截断误差常表示为:O(hp+1)，

p称为单步法的精度阶数又称为修正的Euler公式

yn+1=yn+0.5h[k1+k2]k1=f(xn,yn),k2=f(xn+h,yn+hk1)8/16典型例题与习题4Ex1.推导左矩形求积公式

令F(u)=F(a)+(u-a)F’(a)+0.5(u-a)2F”()练习:9/16典型例题与习题4Ex3.求复合中矩形公式的求积误差?Ex2.复合左矩形求积公式的求积误差设被积函数在积分区间上的一阶导数连续,由连续函数介值定理10/16典型例题与习题4Ex4.利用复合梯形公式计算积分使其截断误差不超过

0.5×10-3,应算多少次函数值？提示：练习:

给定积分当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和Simpson公式计算时,需要计算多少次函数值？11/16典型例题与习题4Ex5.验证，复合梯形公式与复合Simpson

公式之间有如下关系12/16典型例题与习题4Ex6.定积分的计算问题可化为初值问题

y’=f(t),y(a)=0试证明用Euler公式计算结果为其中,h=(b–a)/N,

tn=a+nh(n=0,1,2,···,N)Ex7.试证明4阶Range-Kutta公式解[a,b]内初值问题

y’=f(x),y(a)=0结果有:其中,h=(b–a)/N,

xn=a+nh(n=0,1,2,···,N)13/16典型例题与习题4Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:y(n)+a1

y(n-1)+a2y(n-2)+·······+any=f(x,y,····,y(n-1))

y(x0)=y00,y’(x0)=y01,y”(x0)=y02,···y(n-1)(x0)=y0,n-1转化为一阶线性常微分方程组问题,并成出矩阵形式解:令

y1(x)=y(x),y2(x)=y’(x),y3(x)=y”(x),····,yn(x)=y(n-1)(x),

14/16典型例题与习题4Ex9.

初值问题有解y(x)=0.5ax2+bx

。若取

xn=nh，yn为欧拉方法得到的数值解，试证明y(xn)–yn=0.5ahxn若取

xn=nh，yn为用梯形公式计算所得的数值解，记y(xn)为初值问题的在x=xn处的解析解。试证明:

y(xn)=yn

Ex10.

初值问题15/16典型例题与习题4写出梯形