矩阵范数详解

1/9矩阵范数详解小”,比如矩阵序列的收敛,解线性方程组时的误差分析等,具体的情况在这里不再复述。直”的变换)，所以,直观上可用Cmn上的向量范数来作为A=Cm〉n的矩阵范数。比如(1.1)(1.1)11ij在l-范数意义下,2在l-范数意义下,2F(i=1j=1ij)那么是否矩阵范数就这样解决了?因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来,矩阵之间有乘法运算,它在定义范数时应予以体现,也即估计AB的“大小”相对于A与B的“大小”关系。以下条件:我们现在来验证前面(1．1)和(1．2)定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑(1．2),把较容易的(1.1)的验证留给同学们,n12nF1122nnF12n21212n2n212n2对上式中第2个括号内的诸项,应用Cauchy不等式，则有FFFFFFF2/9F(i=1j=1ij)(1．3)于是，两边开方,即得三角不等式。再验证矩阵乘法相容性。(1.4)。这样就完成了对矩阵F-范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可以了吗?No!运用l－范数于矩阵范数时便出了问题。如果||A||=max|a|,那么,这样的矩阵范ww1共i共mij(11)(22)数在下面一个例子上就行不通。设A=|(11)|,A2=|(22)|=2A。因此,按上述矩阵∞-wwwwwww但这是矛盾的。所以简单地将l－范数运用于矩阵范数，是不可行的。w仅给出矩阵范数的定义是不够的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。当然,你也可以不去考虑构成方法,一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。不过这样做的工作量太大,也很盲目。第二,在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中，所以在考虑构造矩阵概念。定义2对于Cm根n上的矩阵范数||.||M和Cm,Cn上的同类向量范数||.||V,如果成立VMV则称矩阵范数||.||M与向量范数||.||V是相容的。是与向量范数||.||相容。22FFFF2现在给出一种构造矩阵范数的一般方法,它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容,3/9矩阵范数A的由向量范数||•||诱导给出的矩阵范数为VV可以验证,这样定义出的矩阵范数||A||满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数V与向量范数相容性要求(定义2)。由于有什么样的向量范数||•||,就有什么样的矩阵范数,V了一个函数(或算子)，故又称为算子范数。(2．1)给定的范数实际是寻求一个最优化问题的最优值,求目标函数的最大方式定义,使问题的处理简单。Vx0||x||||x||1||x||||x||1VVVVV(2.2)事实上,分母上的||x||是一个正数(x0),那么根据向量范数的齐次性有VmaxVmaxx0||x||x0VAxmaxA1AxmaxAx0VVVVVVVV下面我们从理论上证明这样的矩阵范数||A||满足定义1规定的4个条件，同时又满足V矩阵范数与向量范数相容性要求。定理2。1由(2．1)或(2.2)给定的Cmn上的矩阵范数满足矩阵范数定义1的4个条件,且与相应的向量范数相容。证明：首先,矩阵范数与向量范数的相容性是不难证明的，事实上,对||x||=1,VVVVV||z||1VVV(1.5)成立。我们下面来验证(2.1)或(2.2)满足矩阵范数的4个条件。这4个条件中,前2个也容易验证,因此这里只来考察第3,4个条件。三角不等式的验证：对于任一BCmnVVVVVVV4/9矩阵范数详解Vx丰0||x||VVV至此,证实了用算子范数确能给出满足矩阵范数定义和矩阵范数与向量范数的相容性3)但是要注意的是，对一般的矩阵范数,对任一向量x=Cn，有F不是诱导矩阵范数,所以F诱导矩阵范数。下面就来具体地构造几个常用的诱导矩阵范数。设A=Cm根n。设A=Cm根n,由向量l-范数诱导而来的最大列和诱导矩阵范数112n1n1jijjj=1jij1||x||=11jijjikijjii=10k0k1k2kmki=1i=11||x||=11i=1i=1综合(+)与(＋+)可知,由向量l-范数诱导出的矩阵范数既是||A||的上界,又是其下界,因11此必有(3.1).22iiiiiii=1i=1nl2其中2GA当A=Rn〉n时,12证明:首先由线性代数,AHA是半正定矩阵,事实上,对任一x=Cn,有22n互正交的,l－范数等于1(即标准化了的)特征向量x(1),x(2),,x(n)，它们分别对应于特征2n故这组特征向量构成了一组标准正交基，用它们可表示任一个范数||x||=1的向量x：2ii=12i这样,ii=1也就是11221nn1(i)1nn1(i)1i=1由x的任意性和算子范数的定义 221211121(＊*)22综合(*)和(**)，由l-范数诱导得出的矩阵范数应为221max1例3.3设A=Cm〉n，l-范数诱导得出的矩阵范数wj=1wijii5/9 6/9iiiiiijiwijjj=1wijjj=1ijjijjijjijjj=1(*)(*)wwwwij=1ikjiji令y=(y,y,,y)T,其中y=〈|a|，12nj|la,ifakj丰0jjw||x||w=1wwj=1kjij=1ij综合(*)和(＊*)，便得j=1除了上述3种常用的矩阵范数外，Frobenius范数虽然不是算子范数,但也经常所用，在讨论序列收敛等问题上是等价的。(1-2)例3．4设A=|(-34)|，求其各种矩阵范数。1wF2矩阵范数详解矩阵范数可由向量范数诱导，反过来,向量范数有时也可从矩阵范数推出。例4.1设||•||是Cnn上的矩阵范数，任取Cn中的非零向量y,则函数MVMMV证明:欲证||x||是一个向量范数,只须验证它满足向量范数得个条件。VVMnnVM齐次性:对任一常数cC，有VMMV三角不等式:对任意的x,zCn,有VMMMMVMV下面再证两种范数的相容性。如果ACnn,xCn,那么xVMMMMMVMV对于矩阵ACnn,能否根据其范数的大小，来判别(IA)的奇异性?判别一个矩阵的奇异A定理5.1(Banach引理)设矩阵ACnn,且对矩阵Cnn上的某种矩阵范数||•||,有I证明:假设矩阵范数||A||与向量范数||x||相容。欲证矩阵(IA)非奇异,可通过用反证法。假设det(IA)0,则齐次线性方程组(IA)x0有非零解x，即0(IA)x0,x00x00x0V0V0V0V而矩阵(IA)非奇异，