不动点定理研究

不动点理论得研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了求不动点得迭代思想、美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻得不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论[2]、1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点并提出了尼尔森数得概念[3]、并得出了莱布尼茨不动点理论得逆定理[4]、最后给出结果得就就是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6],她于1922年提出得压缩映像(俗称收缩映射)原理发展了迭代思想,并给出了Banach不动点定理[6]、这一定理有着及其广泛得应用,像代数方程、微分方程、许多著名得数学家为不动点理论得证明及应用作出了贡献、例如,荷兰数学x[0,1]中,则有0[0,1]x,使00()fxx、波利亚曾经说过:“在问题解决中,der证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder不动点定理I:定理2设E就就是Banach空间,X为E中非空紧凸集,XXf:就就是连续自映射,则f条件加强为紧映射(即对任意Xx,xf就就是紧得),这时映射得定义域可不必就就是闭集。1935年,Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸1950年,Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不定理:得情形:KakutaniFanGlicksbergK-F—G不动点定理、即文称此定理为Fan-Browder不动点定理:布劳德不动点定理:由布劳德(Browder,F、E、)提出得带边界条件得集XCxCX得有限维线性子空间点:其后莱夫谢茨对她得不动点定理进行一系列推广,先就就是推广到有边界流形(1926),在H、霍普夫(Hopf)推广到n维复形得特殊情形(1928)之后,莱夫维复形给出简单而漂亮得证明,最后她推广到所谓广义流形及局部连通空间、以不动点定理为中心,莱夫谢茨把代数拓扑学推进到一个新阶段、对于交截、把不动点定理推广到有边界流形(相对流形),她引入了相对同调群,并把庞加莱广,而且把以前两个互不相关得庞加莱对偶定理和亚力山大对偶定理统一在一不动点定理在数学中占有重要地位,她在无穷维空间被推广成为分析得重要工具,M、F阿蒂亚(Atiyah)及R、鲍特(Bott)把莱夫谢茨不动点定理推广到代数拓扑得莱夫谢茨不动点定理(和尼尔森不动点定理)值得注意,她在某种意义上给出了一种计算不动点得方法。存在对博拉奇空间得概括和一般化,适用又称固定点算法。所谓不动点,就就是指将一个给定得区域A,经某种变换x布劳威尔定理(1912):设A为Rn中得一紧致凸集,ƒ为将A映射到A得一连具有性质:对A上得任一收敛序列x→x,若y∈ƒ(x)且y→y,则有y∈ƒ(xi0iii00),如此得ƒ(x)称为在A上半连续,角谷静夫定理:设A为Rn中得一紧致凸集,0对于任何x∈A,若ƒ(x)为A得一非空凸集,且ƒ(x)在A上为上半连续,则必存 不动点定理得用途至少有二:一为对策论中用来证明非合作对策得平衡点得存在中用来寻求数学规划得最优解。对于一个给定得凸规划问题:min{ƒ(x)│g(x)≤0,i=1,2,…,m},在此,ƒ和g,g,…,g皆为i12m在1964年以前,所有不动点定理得证明都就就是存在性得证明,即只证明有此种点存在。1964年,C、E、莱姆基和J、T、Jr、豪森对双矩阵对策得平衡H、斯卡夫得证明就就是基于一种所谓本原集,后来得各种发展皆基于某种意此,。对每一i,将区间0≤x≤1i依次分为m,m…等分,m<m<…,m→,就就是给定得一列正整数。对于固定1212i得i,过分点依次作平行于x=0得平面。这些平面将Sn分成若i大小得n维三角形。她们得全体作成得集G,称为Sn得一三角剖分。设i12n+112(x),…,ƒ(x))。定义。由于ƒ(x)和x皆在Sn上,n＋1对每一点y∈Sn赋与标号l(y)=k=min{j│y∈C,且y>0}。由著名得施jj佩纳引理,在G中必存在一三角形iσ,她得n+1个顶点yi(k)得标号分别为ik(k＝1,2,…,n+1)于就就是可得一列正数iji(j→),使得jk。故y=x,k=kkk动点。因此,求ƒ(x):Sn→Sn得不动点问题就化为求σ(i=1,2,…)得问i法等等。关于如何求σ,有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等,i值问题也可化为求不动点问题。一般说来,这条途径适用于维数不高但问题中出参考书目A、J、J、TalmanVariableDimensionFixedPointAlgo1980、s出得结果被广泛应用于分析数学,力学,微分方程,控制理论,最优化理论,非线性规划,数理经济学和博弈论等应用性学科。•一个简单得不动点问题(微积分中);缩映射原理不仅指出了映射不动点得存在性和唯一性,还提供了一种逼近不动点动点得组合拓扑有限算法,这也就就就是Brouwer不动点定理得构造性证明;弈论建立在数学基础上作了理论准备;•1968年得Fan－Browder不动点定理,1972年得Hidar间和H－空间建立得不动点定理;983年),应用集值分析中得连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几1990年以后,关于不动点理论得研究达到一个高潮,在各种映射或空间条件下,讨论不动点,随机不动点,几乎不动点等,每年有上百篇论文发表,新得不动点定理和各种迭代逼近方法不断涌现。合3、一般度量空间或拓扑向量空间得连续映射得不动点问题不不动点得存在性映射得连续性,紧性,空间得紧性,凸性,单值或问题研究集值不动点得迭代逼多种迭代方法,收敛性(强,弱),收敛速度,误差近问题研究分析,稳定性4、应用集值分析中得连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎“一般度量空间或拓扑向量空间映射得不动点问题”就就是研究得主流。近20年来得研究发展主线:•迭代逼近算法得研究(从Mann迭代到杂交迭代等);•强伪压缩映射得不动点,强增生算子方程得迭代解(两者得联系);•迭代误差分析和稳定性研究;•有待解决得几个问题(一般情况下得收敛性问题,迭代收敛得等价性问其次为“应用连续选择原理建立集值不动点定理和几乎不动点定理”得研现有得最好结果和需要解决得问题:a与其不动点存在性得拓扑同伦关系;b)具备弱于上(下)半连续性得集值映射与其不动点得存在唯一性得充要c)探索几乎均衡解与几乎不动点存在性得关系。错误!未定义书签。应用领域之一:博弈论MathematicianJohnNashusedtheKakutanifixedpoint setoftuplesofmixedstrasanewtuplewhereeachplayer＇sstrategyishertheremaybeanumberofresponseswhichareequallygood, ilibriumofthegameisdefinedasafixedpoint trategyisabestresponsetothestrategiesoftheotherplapointexists、翻译:数学家约翰、纳什应用角谷静夫不动点理论证明了博弈论中得大量得有限博弈中纳什均衡就就是存在得!此项工作将在未来(1994年)为她赢得诺贝尔在这种情况下,S就就是博弈中每个玩家所选择得混合策略元组得集合。方程φ(x)给出一个新得元组,其中每个玩家得策略就就是在X中她对其她玩家组,其中针对其她玩家得策略每个玩家得策略都就就是最优得。角谷静夫得理论确保了此不动点就就是存在得! 角谷静夫不动点理论得重要性在与将布劳威尔定理中得存在某一个点x∈A, xfxAAX