2021年北京新街口中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021年北京新街口中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列有关命题的说法正确的是(

)A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“若，则”的逆否命题为真命题．D．命题“使得”的否定是：“

均有”．参考答案：C略2.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长等于

A.

B.

C.

D.1参考答案：B略3.函数的图象为曲线，函数的图象为曲线，过轴上的动点作垂直于轴的直线分别交曲线，于两点，则线段长度的最大值为（

）A．2

B．4

C．5

D．参考答案：D4.已知全集，集合，集合，那么（

）A．

B．(0,1]

C．(0,1)

D．(1,+∞)参考答案：A5.下面的程序框图中，循环体执行的次数是()A、50

B、99

C、100 D、49参考答案：D略6.设，则a，b，c大小关系正确的

（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B略7.偶函数满足，且在x∈0，1时,，则关于x的方程，在x∈0，3上解的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D8.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件

B．充要条件C．必要不充分条件

D．即不充分也不必要条件参考答案：B9.i是虚数单位，若，则(

) (A)(B)(C) (D)参考答案：B试题分析：由题根据所给复数化简求解即可；.考点：复数的运算10.如图，在等腰梯形ABCD中，下底BC长为3，底角C为，高为a，E为上底AD的中点，P为折线段C-D-A上的动点，设的最小值为，若关于a的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为(

)

．A．

B．

C.

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）的定义域为R，且为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x．若f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调递增函数，则a的取值范围是．参考答案：1＜a≤3【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数奇偶性的性质作出对应的图象，利用函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x）的图形关于原点成中心对称，图形如图．由图象可知函数f（x）在区间[﹣1，1]上为单调递增函数，所以，解得1＜a≤3．故答案为：1＜a≤312.要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有

种．参考答案：40【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和3男0女两种情况，分别求出这两种情况下的选法的数量，利用分类计数原理相加即得结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数原理的应用，这3人女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有C52C31=30种，若3人中有3男0女，则不同的选法共有C53=10种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有30+10=40种，故答案为：40．【点评】本题主要考查计数原理的应用，本题解题的关键是对于题目中所要求的既要有女生又要有男生所包含的情况要分类来表示出来，本题是一个基础题．13.已知集合，集合，则=

▲

．参考答案：{0}14.“已知数列为等差数列，它的前项和为，若存在正整数，使得，则.”，类比前面结论，若正项数列为等比数列，

参考答案：正项数列为等比数列，它的前项乘积为，若，则；略15.已知等差数列{an}满足：a1+a5=4，则数列{}的前5项之积为

（用数字作答）参考答案：1024【考点】数列的求和．【分析】根据等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前5项和，再根据指数幂的运算性质即可求出答案．【解答】解：∵等差数列{an}满足：a1+a5=4，∴a1+a5=a2+a4=2a3=4，∴a1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，∴数列{2}的前5项之积为2=210=1024，故答案为：1024【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题16.已知等差数列的前n项和为．若，，则=

，

．参考答案：4，110【考点】等差数列设等差数列的公差为，则，即，，，，，故答案为4，110.17.已知向量，若，则实数______．参考答案：试题分析：因为向量，，所以，即，解得；考点：向量垂直的充要条件三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平行四边形ABCD所在的平面与直角梯形ABEF所在的平面垂直，，，且，，，P为DF的中点.（1）求证：平面ABCD；（2）求证：；（3）若直线EF上存在点H，使得CF，BH所成角的余弦值为，求BH与平面ADF所成角的大小.参考答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】(1)取的中点或取中点,利用证平行四边形的方法再证明平面即可.(2)根据勾股定理与余弦定理证明,再根据面面垂直的性质得出平面即可证明.(3)以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.设,再利用空间向量求解关于线面角的问题即可.【详解】（1）解法1：取的中点,连结,,,在直角梯形中,,,所以四边形为平行四边形,所以,在中,,所以,又因为,所以平面平面,又平面,所以平面.解法2：取中点,连结,,在中,,,所以,且,又,,所以,,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.（2）在中,,,所以,所以,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以.（3）由（1）（2）以为原点,以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.所以,,,,,所以,所以,,,设,所以,所以,所以,所以,所以,设平面的法向量为,所以,所以令,则,如与平面成的角为,所以.所以,即与面成的角为.【点睛】本题主要考查了线面平行与线线垂直的一般方法,同时也考查了建立空间直角坐标系求解线面角的问题,需要设线段的比例关系,求解关于比例参数的解析式根据线面角大小化简求解.属于难题.19.已知各项均为正数的数列的前项和为,且.（1）求(2)求数列的通项；(3)若,，求证：＜

参考答案：(I)(II)(III)＜解析：解：（1）令，得，………2分(2)又………①有…………②……3分②-①得…4分

∴

……6分

∴…………8分(3)n=1时=1＜符合………9分时，因为,…………11分所以………….13分∴＜…………14分

略20.已知向量，，，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．参考答案：（1），，…………………2分，（显然，否则与矛盾．），（不交代扣2分）…………………5分．………………7分（2）且，，又，．…………10分

………………14分21.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|．【解答】解：（1）∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，由（t为参数）消去t得：．所以直线l的普通方程为．（2）把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．设其两根分别为t1，t2，则t1+t2=3，t1t2=5．所以|PQ|=|t1﹣t2|==．22.（本小题满分12分）

在数列中，已知.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列是等差数列；

（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）∵∴数列｛｝是首项为，公比