2021-2022学年广东省揭阳市隆江中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年广东省揭阳市隆江中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i为虚数单位，则复数=（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故选：B．2.已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3+2+=，3，则S△PAB：S△QAB为（）A．1：2 B．2：5 C．5：2 D．2：1参考答案：B【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由已知向量等式得到S△PAB=S△ABC，S△QAB=S△ABC，可求面积比．【解答】解：由题意，如图所示，设AC，BC的中点分别为M，N，由3+2+=，得：2（+）=﹣（+），∴点P在MN上，且PM：PN=1：2，∴P到边AC的距离等于B到边AC的距离×=，则S△PAB=S△ABC，同理，又3，得到S△QAB=S△ABC，所以，S△PAB：S△QAB=2：5．故选：B．3.若，则函数的图像大致是

参考答案：B4.设的值

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知且|x1-x2|的最小值

是，则正数的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.执行如下图所示的程序框图，输出的值为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C7.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是A． B．

C． D．参考答案：B略8.已知全集，集合，，则等于

(A).

(B).

(C).

(D).参考答案：C9.已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）B．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称C．函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同D．函数f（x）在[﹣π，π]上递增参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，判断A错误；根据f（﹣）≠0，判断B错误；化g（x）为正弦型函数，判断C错误；根据x∈[﹣，]时f（x）是单调增函数判断D正确．【解答】解：对于A，f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，k∈Z，∴A错误；对于B，f（﹣）=3sin（2×（﹣）﹣）=﹣3≠0，∴f（x）的图象不关于（﹣，0）对称，B错误；对于C，g（x）=3cos（2x+）=3sin[﹣（2x+）]=﹣3sin（2x﹣），与f（x）=3sin（2x﹣）的图象不相同，C错误；对于D，x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）=3sin（2x﹣）是单调增函数，D正确．故选：D．10.计箅的结果等于A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有

,那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是

．参考答案：略12.若函数f(x)＝(k为常数)在定义域R上为奇函数，则k＝________；参考答案：

1

13.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝____________．参考答案：

14.已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（

）A．和

B．和

C．和

D．和参考答案：15.复数

.参考答案：答案：

16.已知是奇函数，当时，，则

▲

.参考答案：17.已知点A(－1，1）、B(0,3）、C(3，4），则向量在方向上的投影为．参考答案：

【知识点】平面向量数量积的运算．F3解析：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．【思路点拨】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．

⑴设，求证是等腰三角形；⑵设向量,，且∥,若，求的值．参考答案：19.已知函数（，）．（1）若在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；（2）当时，判断关于x的方程的解得个数．参考答案：解：（1），由题在恒成立，，即，设，，在上单调递增，在上单调递减，，．（2），即，其中，∴，，令，，，在上单调递减，在上单调递增，由，又，所以存在，使在上满足，在上满足，即在上单调递减，在上单调递增，由，→时，→，所以当，时，有一个解，∴只有一个解．

20.（13分）

某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，有只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。

（Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；（Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；（Ⅲ）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求的分布列与数学期望。参考答案：解析：（Ⅰ）3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1=……3分

（Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2=…6分

（Ⅲ）设某一选择修课这3个学生选择的人数为，则=0，1，2，3 P(=0)=

P(=1)= P(=2)=

P(=3)=

………………10分0123P ∴的分布列为：

∴期望E=0×+1+2×+3×=

……13分21.已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，定点，P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M、F2N的倾斜角分别为α、β且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率求得a=c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得=，=，由+=0，结合韦达定理，即可求得m=﹣2k．则直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C的离心率e==，则a=c，椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上∴丨F1F2丨=丨PF2丨，∴（2c）2=（）2+（2﹣c）2，解得：c=1，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）证明：由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，且=，=由已知α+β=π，得+=0，即+=0，化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，∴2k×﹣（m﹣k）（）﹣2m．整理得m=﹣2k．∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），∴直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．22.已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．参考答案：由p：|1－|≤2，解得－2≤x≤10∴“非p”：A＝{x|x＞10或x＜－2}．由q：x2－2x＋1－m2≤0，解得1－m≤x≤1＋m（m＞0）∴“非q”：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：A

B．解得0＜m≤3．∴满足条件的m的取值范围为{m|0＜m≤3＝．解法二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换．由“非p”是“非q”的必要而不充分条