动力学5理论学生教学课件dch7a

1第七章机械振动基础2机械振动基础振动:描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化。机械振动:力学和机械系统中的振动。钟表摆的运动编钟敲击后的振动3机械振动基础研究振动的目的：认识振动的性质与特性利用振动消除振动利用振动双轮串联振动式压路机4机械振动基础汽车减震器动力学的计算机仿真消除或减小振动5机械振动基础利用振动来消除或减小振动6机械振动基础建筑工程中的减震研究7机械振动基础问题：如何建立机械振动的力学模型？车辆减震系统8机械振动基础v车身振动的最大振幅mm9§7-1单自由度系统的振动一、质量-弹簧系统的自由振动自由振动：质量块受初始扰动，仅在恢复力的作用下产生的振动。l0stdxyo'okm问题：用什么方法建立运动微分方程？牛顿第二定律动量定理动量矩定理动能定理动静法动力学普遍方程拉格朗日方程10§7-1单自由度系统的振动mx

+

kx

=

0l0stdx1xommk=20wx

+

w

2

x

=

0

x

=

c

cos

w

t

+

c

sin

w

t0

1

0

2

0=

A

sin(

w

0

t

+

a

)mg固有频率kFma

=

F

+

mgx

:

mx

=

mg

-

Fsto'

mx=mg-k(x

+dst

)mx

=

mg

-

kx

-

kdx1

:

mx1

=

mg

-

Fmx1

=

mg

-

kx1mx1

+

kx1

=

mg坐标原点选在静平衡位置，可得到齐次常微分方程11§7-1单自由度系统的振动o

xkm例：求下列单自由度系统振动的固有频率mx

+

kx

=

0mx

+

k

x

=

0mk0w

=光滑l0

l0o

xkm纯滚动23m

x

+

kx

=

02kx

+

x

=

03m3m2

kw

0

=§7-1单自由度系统的振动qo(A)aFImg例：图示单摆系统，其支座以加速度a

运动，求系统作微幅振动的固有频率。已知：a,

L，m，kLq

+(g

+

a)q

=

0

g

+

aL120w

=系统AmL2q

=

-mgL

sin

q

-

maL

sinqLq

+(g

+

a)

sin

q

=

013§7-1单自由度系统的振动2

4Lg设：=p

,a

=0.1p

L

sin(0.1p

t)qo(A)aFImgLq

+

g

sin

q

=

0,

a

=

0Lq

+

(g

+

a)

sin

q

=

0§7-1单自由度系统的振动问题：如何求下列系统微振动的动力学方程和固有频率？qogqoqx

14oAB1

LmLq

+

mgq

=

03

22

~~mq

+

kq

=

015§7-1单自由度系统的振动二、微幅自由振动微分方程建立的方法设：定常约束的单自由度质点系，广义坐标为q，系统的平衡位置为q=0，系统的势能函数连续可微，并且V（0）=0。221212m(q)qm

vii

i=T

=221212m"

(0)q

+]q[m

(0)

+

m

'

(0)q

+T

=|

q

|<<

1221

1

~T

»

m(0)q

=

mq2

2~m

=

m(0)广义等效质量2V

(q)

=

V

(0)

+V

'

(0)q

+

1

V

"(0)q2

+因为：q=0

是稳定平衡位置，且为势能零点，所以有V

(0)

=

0

V

'

(

0

)

=

0

V"

(

0

)

>

022

2=

1

~V

(q)

»

1

V

"(0)q

2

kqV

''(0)

=

~k

等效刚度系数应用拉格朗日方程22L=

T

-V

=

1

m~q

2

-

1

~kq2kq

=

0m~q

+

~16§7-1单自由度系统的振动例：已知

m,

OA=AB=L,

求系统微振动固有频率2

3V

=

4mgL(1-

cosq)(

mL

+

6mL

sin

q)qT

=

1

22

2

2

2223~mLm

=m

Lk

6g~w

=

~

=gqxoA解：系统的动能和势能1

1T

»

m(0)q

2

=

m~q

2221

~221V

(q)

»

V"(0)q2

=

kq2~~mq

+

kq

=

0~k

=

4mgL222121212122Bccomv+mv

++T

=J

qJ

qxB

=

2L

cosqyc

=

0.5Lsinq,xc

=1.5L

cosq,C为AB杆B的质心17§7-1单自由度系统的振动例：系统如图所示，滑块的质量为m，杆长为L，质量为m，弹簧刚度系数分别为k1,k2

。当杆铅垂时，弹簧无变形，确定杆在铅垂位置附近作微振动的条件和振动的固有频率。qk1mgk2ABLmg18§7-1单自由度系统的振动解：给出系统的动能，取q

=0为系统的零势位2

2121232222dV

dqcosq

+

k

L

-

mgL]sin

q=

[(k1

-

k

)L3222221dq

2mgL)

cosqk

)L

cos

2-q

+(k

L=

(k

-2-

mg

3L

(1

-

cos

q

)22212V

=

k

L

sin

q

+k L

(1

-

cos

q

)222121212C

ABCAJ

wmv

+mv

+T

==

1

mL2

(sin2

q

+

1)q22

33m~

=

1

mL2km~~w

=32~2221

2mgL)

>

0+(k

L

-k

=

(k

-

k

)L1kmg

qk2AB

d2VLmg2

2T

»

1

m(0)q

2

=

1

m~q

222V

(q)

»

1

V"(0)q2

=

1

~kq219§7-1单自由度系统的振动三、弹簧的等效刚度kmk

1mk

2mk1k2k1mk

220§7-2单自由度系统的阻尼振动运动微分方程设：m

mc

k=20;w2d

=0x

+

2dx

+

w

2

x

=

0F

=

-cvcc：粘阻系数l0

+dst

x

:xokmgcFkFcma

=

Fk

+

Fc

+

mgma

=

Fk

-

cv

+

mgmx

=

-k

(

x

+

dst

)

-

cx

+

mgmx

+

cx

+

kx

=

0l

=

-d

–

d

2

-

w

21,

2

0特征根决定方程解的形式21§7-2单自由度系统的阻尼振动设：km

mc202d

=

;w

=0x

+

2dx

+

w

2

x

=

0l

=

-d

–

d

2

-

w

21,2

0一、欠阻尼状态（d<w

0）l

=

-d

–

w

2

-

d

2

i

=

-d

–

w

i1,2

0

dx

=

C

e-dt

cos

w

t

+

C

e-dt

sin

w

t

=

Ae-d

t

sin(w

t

+j

)1

d

2

d

d22§7-2单自由度系统的阻尼振动二、过阻尼状态（d

>w

0）2121l

tl

t+

C

ex

=

C

el

=

-d

–

d

2

-

w

21,2

0三、临界状态（d

=w

0）l1,

2

=

-d21+

C t

)x

=

e

l1t

(C23§7-2单自由度系统的阻尼振动例：求下列单自由度系统振动微分方程l0o

xkm纯滚动cxkFFc221221ccJT

=

mv

+243w

=

mx应用动能定理的微分形式dT

=

dWdW

=

Fi

•vidtdW

=

-kxxdt

-

cxxdt3dT

=

mxdx223

mxdx=

-kxxdt

-

cxxdt23

mx

+

cx

+

kx

=

024§7-2单自由度系统的阻尼振动例：求质量为m的均质杆放在两个转动轮上,初始杆静止，其重心在两轮之间且不在正中间，证明该杆的运动为简谐振动。LLww25§7-2单自由度系统的阻尼振动mgxFN11FFN

22F取板为研究对象m

aC

=

Fim

x

=

F1

-

F2Fi

=

f

FNi

(i

=

1,2

)2LN

1F

=

L

-

x

mg

F2LN

2=