高数一精彩试题及问题详解

标准文案标准文案大全大全《高等数学（一）》复习资料一、选择题TOC\o"1-5"\h\z若lim-2—x+k=5，贝♦k=( )x-3 x—3一3 -4 -5 -6若lim———=2，贝1k=( )x—1X—1.1 2 B.3C.4D.曲线y=ex-3sinx+1在点(，2处的切线方程为.=2x+2 y=-2x+2 y=2x+3 y=-2x+3.=3+.=3+22y=-.x+22曲线y=ex-3sinx+1在点(，)处的法线方程为()11y=—x+3 y=-—x+32 2limx—1x2-1sinx.04C.5设函数f(x)=Jx(t+1)(t-2)dt，贝uf'(3)()01 2 B3C 4D求函数y=2x4-4x3+2的拐点有（）个。当x-8时，下列函数中有极限的是()。1 x+1sinx - ex x2-1已知f'(3)=2,limf(3-h)-f(3)= 。2hh-0 2hA— -322arctaDnx.设f(x)=x4-3x2+5则f(0)为f(x)在区间［-2,2］上的(）。.极小值极大值.极小值极大值最小值最大值设函数f(x)在［1,2］上可导，且f'(x)<0,f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)内至少有两个零点没有零点至少有两个零点没有零点J[f(x)+xf'(x)]dx=有且只有一个零点

零点个数不能确定B'(B'(x)+Cxf(x)+C已知y=f2(ln已知y=f2(lnx2),则y'二2f(lnx2)f，(lnx2)4f'(lnx2)4f(Inx2)f，(lnx2)2f(lnx2)f'(x)x2xx2xdJf(x)f'(x)+Cf(xf'(x)+Cf(xB)fCx)f(D)+Cf2lnx ddx=x2xlnx+C2lnx+CDnx)+Clim=x-1lnxx2贝♦f'(-2)设函数f(x)=Jx贝♦f'(-2)0B-2C曲线y=x3的拐点坐标是已知y=f(lnx)，则y已知y=f(lnx)，则y'二fA(lnx)x

dJdf(x)=f(lnx)f(Clnxx)/(lnx)xdAf(xx)f(xB)dfCx)f(Dx)x+CJlnxdxJlnxdx=xlnx—x+Clnx—.+CInc—xln.0分)二、求积分(每题80分)1求JcosxJsinxdx'求J34+31nxdx.x求Jarctanxdx．求Je3xdx求定积分J80dx计算J兀x2cosxdx.0求J 1 dx.x2+2x—8dx求.J22xe—x2dx1.求J3x2k13—x3dxeln2x求J dx1x求.—x2dx三、解答题若求.—x2dx三、解答题若limx-8x-827+1\6求a讨论函数f(x)=3x3—2x2+3x—3的单调性并求其单调区间求函数f(x)=x-x—2的间断点并确定其类型x-2设xy2+sinx=exy,求y'.求y=(x:1)3:x+2的导数.(x+3)5{x—acost. 确定的导数y'y=bsint x1ex,x<0函数f(x)=<1,x=0在x=0处是否连续？tanx,x>01ex,x<0函数f(x)=11,x=0在x=0处是否可导？tanx,x>0求抛物线y=x2与直线y=x所围成图形D的面积A计算由抛物线y2=2x与直线y=x一4围成的图形d的面积A设y是由方程y=siny+xey确定的函数，求y'求证：lnx<x一1,x>1设y是由方程y=1+xey确定的函数，求y'讨论函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性并求其单调区间15求.证： ex>2x一1,求函数f(x)=x(1-x)的间断点并确定其类型x-x3五、解方程求方程y2dx+(x2-xy)dy=0的通解求方程yy〃+y)=0的通解

求方程y"-2y'+y=x=xarctan=xarctanx-2ln(1+x2)+C.求Je3xdx解:Je3xdxx^Je13t2dt=3J12etdt=3t2et-3Jet•2tdt=3t2et-6Jtetdt求方程y"-5y'+9y=5xe-3x的通解高数一复习资料参考答案一、选择题二、求积分1求JcosxJsinxdx"解:Jcosx%,sinxdx=一”. 、 2.3人xd(sinx)=3sm2x+C=3<sin3x+C求J钙+31nxdx.xi1,(4+3lnx)3-3d(4+3lnx)解：J34+31ni1,(4+3lnx)3-3d(4+3lnx)1，，…1=—(4+3lnx)3+C.4求Jarctanxdx.解：设u=arctanx,dv=dx，即v=x，贝qJarctanxdx=xarctanx-Jxd(arctanx)x=xarctanx-J dx1+x2二3e3二(辽—2/+2)+C./x+3/求J dx.x2-5x+6x+3解：由上述可知 x2-5x+6-5 6三十二3，所以Jx+3dx=J(x2-5x+6-5)dx=-5j-1-dx+6J-1-dxx—2 x—3=-5lnx-2+6lnx-3+C.求定积分J8dx即x_t3，则dx_3t2dt，且当x_0时，t_0；当x_8时，t=2，于是dx_Jdx_J23t2dt01+t2=3ln30计算bx2cosxdx.0解：令u=x2,dv=cosxdx，贝ijdu=2xdx,v=sinx，于是J兀J兀x2cosxdx0再用分部积分公式，得=J兀x2dsinx=(x2sinx)02xsinxdx=-2J兀xsinxdx0J兀J兀x2cosxdx0-J兀cosxdx0=2J兀xdcosx_2(xcosx)0 -=21(xcosx)解：Jdx_j」(x+1)2-97/八113—(x+1)d(x+1)=_1n--——-63+(x+1)=61ndx解：令u=$x+2，则x=u3-2,dx_3u2du，从而有

dx 3u2 u2—1+1J = du=3J du1dx 3u2 u2—1+1J = du=3J du1+3x+2 1+u 1+u=31(u-1+1^—)du=3(l2--u+In|1+u|)+C求J22xe-x2dx1解：J22xe-x2dx=J2e-x2dx2=e-x21求J3x2J3_x3dx2=e-4一e-11解：J3x2<3-x3dx=-J、；3-x3d(3-x3)=-3(3-x3)3+C1n2x1 dxx解:e1n2xe 1xe 11dx=Je1n2xd(Inx)=31nx求Jx%；3-x2dx解：Jx3--x2dx=——… 、 12/c、3一1公、3一一x2d(3—x2)=—-'—(3—x2)2+C=一—(3—x2)2+C三、解答题,若limx-8x八,D"6求a解：因为3x-aax2-x+1=9x2-ax"x」，所以a=93x+aax2—x+1否则极限不存在。.■一. 1讨论函数f(x)=3x3-2x2+3x-3的单调性并求其单调区间解：f'(x)=x2-4x+3

由f'(x)=x2—4x+3=0得x=1,x=31 2所以f(x)在区间(—8,1)上单调增，在区间(1,3)上单调减，在区间(3,+8)上单调增。求函数f(x)-x'(t) -asint a2y1ex'(t) -asint a2y1ex，x<0函数f(x)-11,x-0在x=0处是否连续？tanx,x>0解：函数无定义的点为x-2，是唯一的间断点。因limf(x)=3知x-2是可去间断点。x-2设xy2+sinx-exy,求y'.解：y2+2xy•y，+cosx=exy(y+yr).y(exy—y)—cosx故y二- - x(2y一exy)(x+1)3\-x+2〃求y- (x+3)5的导数.解：对原式两边取对数得:Iny=3ln(x+1)+iln(x+2)—5ln(x+3),故 (x+1)3%：x+2[3+11 5]故y (x+3)5[x+1+2x+2x+3].确定的导数y'xIx-acost求由方程1y-bsin确定的导数y'x解：limf(x)=limex=0x—0- x-0一limf(x)=limtanx=0x-0+ x-0+故在x=0处不连续。1ex,x<0函数f(x)=H，x=0 在x=0处是否可导？tanx,x>01f(x)-f(0)rex-1解：因为lim =lim =8x—0- x x-0-x所以在x=0处不可导。求抛物线＞求抛物线＞=x2与直线＞=x所围成图形d的面积a=x=x-4围成的图形D的面积AIy=x Ix=0Ix=1解 求解方程组《 得直线与抛物线的交点为人八，＜一见图，所以该图Iy=x2 Iy=0Iy=1形在直线x=0与，y=x2形在直线x=0与计算由抛物线y2=2x与直线yV2=2x解：求解方程组1，得抛物线与直线的交点(2,-2)和(8,4)，见图,解：求解方程组1〔V=x-4种方法求解V2方法 图形D夹在水平线V=-2与v=4之间，其左边界x=',右边界x=V+4,故A=J4(v+4)—：dy=曝+4V—3]=18-2_ 2_ _2 6」-2方法图形D夹在直线x=0与x=8之间，上边界为y=J2X，而下边界是由两条曲线y=-岳与y=x-4分段构成的，所以需要将图形D分成两个小区域R，A=f2_y/2x-(-y/2x)Jdx+f8_y^2x-(x-4)Jdx8=18L28=18=2握•一x2 +30设y是由方程y=siny+xey确定的函数，求y'解：两边对x求导得y'=y'cosy+ey+xeyy'. ey整理得y=- 1-cosy-xey求证：Inx<x-1,x>1证明：令f(x)=(x-1)-Inx1x—1因为f'(x)=1--=一>0xx所以f(x)>0， x>1。设y是由方程y=1+xey确定的函数，求y'解：两边对x求导得y'=ey+xeyy'ey整理得y= 1一xey讨论函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性并求其单调区间解：f'(x)-6x2-18x+12由f'(x)-6x2-18x+12-0得x-1,x-212所以f(x)在区间(-8,1)上单调增，在区间(1,2)上单调减，在区间(2,+8)上单调增。求证：ex>2x-1证：令f(x)-ex-2x+1因为f'(x)-ex-2-0得x-ln2，又因为f(ln2)-2-2ln2+1>0所以f(x)>0。求函数f(x)="⑼的间断点并确定其类型x-x3解：由分母x-x3-0得间断点x-0,x=±1。因limf(x)=1知x-0是可去间断点；xf01x1因limf(x)-lim —知x-1也是可去间断点xf1 xf11-x2 21+x1因limf(x)-lim —知x--1也是可去间断点xf-1 xf-11-x22四、解方程求方程y2dx+(x2-xy)dy-0的通解解原方程可化为y2dyy2上式右边分子分母同除X2得y此为齐次方程，因而令y此为齐次方程，因而令u=-x,d)2dy二xdxy——1xdy du，则W=u+x 代入上式得dx dxduu2u+x——= ,dxu—1dxu—1分离变量得两边积分得从而有——= du分离变量得两边积分得从而有xulnx=u—Inu+InC，eux=c一，y y用u=土回代即得原方程的通解y=Cexxyyff+y'2=0解：原方程可化为：d(yy')=0dx积分得：yy'=cidy2dx积分得y2=cx+c 分12求方程y"-2y'+y=x2的一个特解解由于方程中q=1丰0且P(