曲面积分第二类型

曲面积分第二类型第一页，共四十页，编辑于2023年，星期三曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧•曲面分类

双侧曲面单侧曲面曲面分左侧和右侧

第二页，共四十页，编辑于2023年，星期三莫比乌斯带典型单侧曲面:第三页，共四十页，编辑于2023年，星期三莫比乌斯带

第四页，共四十页，编辑于2023年，星期三其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧

>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,

表示:其面元在xOy

面上的投影记为的面积为则规定类似可规定第五页，共四十页，编辑于2023年，星期三实例:流向曲面一侧的流量.2.第二型曲面积分的概念第六页，共四十页，编辑于2023年，星期三

S是速度场中的一片有向曲面,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在S上连续,

求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量F.(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxvrrrr),,(),,(),,(),,(++=给出.

第七页，共四十页，编辑于2023年，星期三1.分割则该点流速为法向量为.把曲面S分成n小块(),第i小块曲面的面积同时也代表在上任取一点第八页，共四十页，编辑于2023年，星期三2.求和通过S流向指定侧的流量该点处曲面S的单位法向量第九页，共四十页，编辑于2023年，星期三3.取极限.得到流量m的精确值第十页，共四十页，编辑于2023年，星期三,则

第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三第二型曲面积分的定义设S是一个分片光滑的双侧曲面,记选定一侧的单位法向量为假设在S上给定了一个向量函数将S分割成n个不相重叠的小曲面片在上任取一点作和式令是中直径的最大者

在S上选定了一侧,第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三若和式对Ｓ的任意一种分割及中间点的任意的选取，当时总有极限，则称此极限为向量函数在Ｓ所指定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分或第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三其中与为同一个曲面的两个相反的定向.(2)若积分与存在,则其中为任意常数．第二型曲面积分的性质第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三其中由互不重叠的两个曲面组成．3.第二型曲面积分的计算第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式和坐标的形式第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三为dS在平面上的有向投影面积.若单位法向量的方向余弦为(上正下负)第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三平面上的有向投影面积.平面上的有向投影面积.(前正后负)(右正左负)第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三称为P在有向曲面S上对坐标y,z的曲面积分;称为Q在有向曲面S上对坐标z,x的曲面积分;称为R在有向曲面S上对坐标x,y的曲面积分;若以-S表示曲面S的另一侧，则由定义可得注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期三取上侧,是S上的连续函数,则设光滑曲面注：积分的计算，必须先将曲面表示成：再代公式计算积分的计算方法：第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期三说明:如果积分曲面S取下侧,则若曲面S是母线平行于z轴的柱面（垂直于xy坐标面）则第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期三(前正后负)将曲面S表示为若曲面S是母线平行于x轴的柱面（垂直于yoz坐标面）则积分的计算方法：第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三(右正左负)若曲面S是母线平行于y轴的柱面（垂直于zox坐标面）则积分的计算方法：将曲面S表示为注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三概括为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy面）定号：

由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号注意积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加②确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三第二型曲面积分的性质（坐标形式）⑴⑵若曲面S由两两无公共内点的曲面

Si

i=1,2,...,n所组成，则第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三由第二型曲面积分的定义，流体以速度从曲面S的负侧流向正侧的总流量第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三解第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期三第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期三第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期三第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三法向量指向上侧时取正，指向下侧时取负．单位法向量的方向余弦是：曲面

在点处的法向量为例如第二型曲面积分直接化成二重积分关键是正确