求解线性方程组

求解线性方程组第一页，共四十页，编辑于2023年，星期三§1引言与预备知识第七章解线性代数方程组的直接法一、引言线性方程组的来源线性方程组的分类线性方程组的两类解法：

1、直接法

2、迭代法二、向量和矩阵(略)第二页，共四十页，编辑于2023年，星期三三、特殊矩阵对角矩阵三对角矩阵上三角矩阵Hessenberg阵对称矩阵埃尔米特矩阵对称正定矩阵正交矩阵酉矩阵初等置换阵置换阵第三页，共四十页，编辑于2023年，星期三定理1设A∈Rnⅹn,A非奇异⇔…?定理2若A∈Rnⅹn对称正定矩阵，则⇒…?定理3若A∈Rnⅹn对称矩阵，则对称正定矩阵<=…?定理4(若当标准型)…其中对角化的条件：1）…；2）….第四页，共四十页，编辑于2023年，星期三求解§1高斯消去法高斯消去法：思路首先将A化为上三角阵，再回代求解。=第五页，共四十页，编辑于2023年，星期三消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵第i行mi1

第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n

1主元第六页，共四十页，编辑于2023年，星期三回代定理若A的所有顺序主子式均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要A

非奇异，即A1

存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。第七页，共四十页，编辑于2023年，星期三§2高斯消去法一、高斯消去法设有线性方程组：AX=b一般地,顺序高斯消去法:第八页，共四十页，编辑于2023年，星期三（1）消元过程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到第二步：若用…….……第九页，共四十页，编辑于2023年，星期三第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到其中第十页，共四十页，编辑于2023年，星期三第n-1步：……（2）回代过程若则第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三说明:

若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。定理7.1可以通过高斯消去法求解.(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。列主元高斯消去法的必要性,简例:(1)第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三算法.第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三二、矩阵的三角分解下面建立高斯消去法与矩阵的因式分解的关系.第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期三第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期三课堂练习第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期三§3高斯主元素消去法例3’采用3位十进制，用消元法求解

解法1：第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三解法2：全主元消去法;列主元消去法.第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三一、全主元消去法第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三首先选取系数矩阵中绝对值最大的元素作为主元素重复上述过程，设已完成第k-1步的选主元素，交换两行及两列，消元计算得：第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三第k步选主元素，交换行列，消元计算；最后将原方程化为回代求解选主元计算量太大第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三二、列主元消去法设有线性方程组：AX=b第一步:先在A的第一列选取绝对值最大的元素作主元素,然后交换第1行和第i1行(当i1≠1时),再进行第1次消元.第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三……第k步选主元素,然后交换第k行和第ik行(当ik≠k时),再进行第k次消元.……第n-1步第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三回代求解算法(列主元消去法).……第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期三下面用矩阵描述列主元消去法见课后习题8第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期三说明:

L,U,Ip的存贮.第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期三二、高斯—若当消去法第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三算法(高斯—若当消元法).第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三例4采用高斯—若当消去法求矩阵的逆A-1.第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三选主元消去法例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用高斯消元法计算：8个小主元可能导致计算失败。第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三

全主元消去法每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证。Stepk:①选取②Ifik

k

then交换第k行与第ik

行;Ifjk

k

then交换第k列与第jk

列;③消元注：列交换改变了xi

的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。列主元消去法省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三例：注：列主元法没有全主元法稳定。例：注意：这两个方程组在数学上严格等价。标度化列主元消去法对每一行计算。为省时间，si

只在初始时计算一次。以后每一步考虑子列中最大的aik

为主元.注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。第三十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三高斯-若当消去法与高斯消元法的主要区别：

每步不计算mik

，而是先将当前主元akk(k)

变为1;把akk(k)

所在列的上、下元素全消为0;不需要回代。第三十八页，共四十页，编辑于2023年，星期三运算量由于计算机中乘除运算的时间远远超过加减运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。高斯消元法:Stepk：设，计算因子且计算共进行n

1步(nk)次(nk)2

次(nk)次(nk)(nk+2)

次消元乘除次数：1次(ni+1)次回代乘除次数：高斯消元法的总乘除次数为，运算量为级。第三十九页，共四十页，编辑于2023年，星期三全主元消去法:比高斯消元法多出比较，保证稳定，但费时。列主元消去法:比高斯消元法只多出比较，略省时，但不保证稳定。标度化列主元消去法

:比