山西省吕梁市职业技术中学2021年高三数学理期末试题含解析

山西省吕梁市职业技术中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的角所对的边分别为，若，则边

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：由正弦定理得，∴，答案B2.函数的图象关于直线对称的图象的函数为，则的大致图象为（

）

A

B

C

D

A.31

B.32

C.15

D.16参考答案：答案:

C3.从A、B、C、D、E5名短跑运动员中任选4名，排在标号分别为1、2、3、4的跑道上，则不同的排法有（）A．24种 B．48种 C．120种 D．124种参考答案：C【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】由题意，相当于从A、B、C、D、E5名短跑运动员中任选4名的排列问题，可得不同的排法．【解答】解：由题意，相当于从A、B、C、D、E5名短跑运动员中任选4名的排列问题，不同的排法有=120种，故选：C．【点评】本题考查排列知识的运用，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．4.已知向量

（

）

A．-3

B．3

C．

D．参考答案：A略5.函数的单调递增区间是A.

B.(0,3)

C.(1,4)

D.

参考答案：D略6.设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知下列命题：

①设m为直线，为平面，且m，则“m//”是“”的充要条件；

②的展开式中含x3的项的系数为60；

③设随机变量～N(0，1)，若P(≥2)=p，则P(-2<<0)=；

④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是(，2)；

⑤已知奇函数满足，且0<x<时，则函数在[，]上有5个零点．

其中所有真命题的序号是

（

）A.③④

B.③

C.④⑤

D.②④参考答案：B8.已知全集U＝{x∈N＋｜－2<x≤7}，集合M＝{2，4，6}，P＝{3，4，5}，那么集合CU（M∪P）是A．{－1，0，1，7}

B．{1，7}

C．{1，3，7}

D．

参考答案：B略9.已知为实数集，，则(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A略10.数列{an}满足（﹣1）nan﹣an﹣1=2n，n≥2，则{an}的前100项和为（）A．﹣4750 B．4850 C．﹣5000 D．4750参考答案：C【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】讨论当n=2k（k∈N*）时，a2k﹣a2k﹣1=4k，①当n=2k﹣1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k﹣1﹣a2k﹣2=4k﹣2，②①﹣②可得a2k+2+a2k=2；当n=2k+1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k+1﹣a2k=4k+2③，①+③可得﹣a2k﹣1﹣a2k+1=8k+2．即a2k﹣1+a2k+1=﹣8k﹣2．通过分组利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{an}满足（﹣1）nan﹣an﹣1=2n，n≥2，当n=2k（k∈N*）时，a2k﹣a2k﹣1=4k，①当n=2k﹣1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k﹣1﹣a2k﹣2=4k﹣2，②①﹣②可得a2k+2+a2k=2；当n=2k+1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k+1﹣a2k=4k+2，③①+③可得﹣a2k﹣1﹣a2k+1=8k+2．即a2k﹣1+a2k+1=﹣8k﹣2．则{an}的前100项和为（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a98+a100）=（﹣10﹣26﹣…﹣394）+（2+2+…+2）=﹣×25×（10+394）+2×25=﹣5050+50=﹣5000．故选：C．【点评】本题考查了数列的递推关系、分组求和方法、等差数列的求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点P是曲线上的任意一点，则P点处切线倾斜角α的取值范围为______，此曲线关于______成中心对称.参考答案：，（0，2）12.已知O是椭圆E的对称中心，F1，F2是E的焦点，以O为圆心，OF1为半径的圆与E的一个交点为A.若与的长度之比为2:1，则E的离心率等于______.参考答案：【分析】因为为正三角形，故可根据椭圆的定义可得的关系，从而得到离心率.我们也可以根据已知条件得到，把代入椭圆整理，得，由此能够求出椭圆的离心率．【详解】解法1：如图，设，，因为与的长度之比为2：1，故，，所以为正三角形，故.在等腰中，求得.根据椭圆的定义，可得，故椭圆的离心率.解法2：如图，设椭圆的方程为，.由题意，易知，，所以为正三角形，故，因为点在椭圆上，所以，即，即，整理，得，即，解得（舍去）或，所以.【点睛】本题考查椭圆的本题考查了椭圆的定义，性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．13.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（4）=． 参考答案：0【考点】导数的运算． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】对已知等式两边求导，令x=2求出f'（2），得到f'（x），代入x=4计算即可． 【解答】解：由已知f（x）=3x2+2xf′（2），两边求导得f'（x）=6x+2f′（2），令x=2，得f'（2）=6×2+2f′（2），到f'（2）=﹣12，所以f'（x）=6x﹣24，所以f'（4）=0； 故答案为：0． 【点评】本题考查了导数的运算；关键是求出f'（2）的值，从而知道导数解析式． 14.一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为,则这个三棱柱的体积为________．

参考答案：略15.如图所示，若在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________________.参考答案：【考点】定积分，几何概型．由图可知正方形关于直线对称，又与图象也关于直线对称，如下图，则，正方形面积为，则概率为【点评】：遇到较难的指数或对数函数问题，可以先联系反函数，被积函数为对数函数时不好求，可根据图象特征等价转化为指数函数．16.已知a，b均为正数，且，的最小值为________.参考答案：【分析】本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.17.（09年聊城一模理）电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是

.参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答： 解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，∵A为三角形内角，∴A=，由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，则B=；（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，由余弦定理得AM2=x2+﹣2x??（﹣）=14，解得：x=2，则S△ABC=AC?BC?sinC=×2×2×=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.在极坐标系中，已知圆ρ=与直线相切，求实数a的值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把极坐标方程和直角坐标方程的互化，进一步利用点到直线的距离等于半径求出a的值．解答：解：已知圆ρ=，则转化为直角坐标方程为：转化为直角坐标方程为：x+y﹣a=0利用圆心到直线的距离：解得：a=1或﹣1点评：本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离的应用及相关的运算．20.（12分）已知在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点E为棱上CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．（1）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；（2）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求三棱锥P﹣BDE的体积．参考答案：证明：（Ⅰ）∵ABCD为正方形，∴∵,∴

--------3分

又,∴,∵平面∴平面平面

-------6分

（Ⅱ）∵由是长方体，∴平面,即三棱锥的高底面三角形面积

--------------------12分21.（本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值参考答案：①证明：设AC∩BD=H,连结EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又E为P的中点，故EH//PA又EH平面BDEPA平面BDE∴PA//平面BDE②证明：∵PD⊥平面ABCDAC平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD③解由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角。由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2可得22.如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，，，，，，M是BC中点，N是SA上的点.（1）求证：MN∥平面SDC；（2）求A点到平面MDN的距离.参考答案：（1）