山西省太原市北郊中学高三数学理月考试卷含解析

山西省太原市北郊中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正方形的面积为，向正方形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（

）A.10 B.9 C.8 D.7参考答案：B【分析】根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.3.直线异面，∥平面，则对于下列论断正确的是（

）①一定存在平面使；②一定存在平面使∥；③一定存在平面使；④一定存在无数个平面与交于一定点.A.①④

B.②③

C.①②③

D.②③④参考答案：D略4.不等式的解集是A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知函数的图象的相邻两对称中心的距离为，且，则函数是(A)偶函数且在x=0处取得最大值

(B)偶函数且在x=0处取得最小值(C)奇函数且在x=0处取得最大值

(D)奇函数且在x=0处取得最小值参考答案：A6.函数=的值域是

(

)（A）

（B）[—1，0]

（C）

（D）参考答案：D略7.设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是

(

)

A．若，则

B．若

C．若

D．若参考答案：C8.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（）A.12 B.14 C.16 D.18参考答案：D【分析】根据椭圆对称性可求得为定值，再结合，从而得到所求周长的最小值.【详解】由椭圆对称性可知，两点关于原点对称设为椭圆另一焦点，则四边形为平行四边形由椭圆定义可知：又，

又为椭圆内的弦

周长的最小值为：本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握，关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得的值.9.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数参考答案：B10.已知||=1，=（0，2），且?=1，则向量与夹角的大小为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：∵||=1，=（0，2），且?=1，∴===．∴向量与夹角的大小为．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量与向量=(－1,2)的夹角余弦值是

.参考答案：本题主要考查平面向量的运算.12.已知向量，向量与方向相反，且，则实数

．参考答案：13.已知数列｛｝满足a1＝2，＝3一2，求＝＿＿＿＿．参考答案：14.已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值．【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．15.设实数x、y满足，则的最大值是_____________.参考答案：9由可行域知,当时,16.已知，，则=

参考答案：017.已知x、y满足约束条件，且z＝－2x＋y，则z的最小值是________．参考答案：-6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=﹣x（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．分析；（1）先求出函数的定义域和f′（x），将条件利用导数与函数的单调性的关系，转化成f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，对a分类讨论，分别根据一次函数的图象与性质，求出实数a的取值范围；（2）利用二次函数的单调性判断出g（x）的单调性，不妨设x1＞x2把结论进行等价转化，变形构造恰当的函数h（x），求出h′（x）并根据a的范围判断出h′（x）的符号，得到函数h（x）的单调性，即可证明结论．解：（1）函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域是（0，+∞），∴=，∵函数f（x）在定义域内为单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，则﹣ax+2（a+1）≥0或﹣ax+2（a+1）≤0在（0，+∞）上恒成立，①当a=0时，则有2≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；②当a＞0时，函数y=﹣ax+2（a+1）在（0，+∞）上为减函数，∴只要2（a+1）≤0，即a≤﹣1时满足f′（x）≤0成立，此时a无解；③当a＜0时，函数y=﹣ax+2（a+1）在（0，+∞）上为增函数，∴只要2（a+1）≥0，即a≥﹣1时满足f′（x）≥0成立，此时﹣1≤a＜0；综上可得，实数a的取值范围是[﹣1，0]；证明：（2）g（x）=﹣x=在（1，+∞）单调递增，∵x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＞x2，∴g（x1）＞g（x2），∴等价于f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），则f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），设h（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣（a+1）x+，则h′（x）==，∵﹣1＜a＜7，∴a+1＞0，∴2=2，当且仅当时取等号，∴h′（x）≥2﹣（a+1）=，∵﹣1＜a＜7，∴＞0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，满足f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），即若﹣1＜a＜7，则对于任意x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1成立．【点评】本题考查导数与函数的单调性的关系，以及构造函数法证明不等式，考查分类讨论思想，转化思想，化简、变形能力，属于难题．19.（10分）【选修4-5︰不等式选讲】已知=|2x-1|+ax-5（a是常数,a∈R）。（Ⅰ）当a=1时求不等式0的解集;（Ⅱ）如果函数y=恰有两个不同的零点,求a的取值范围。参考答案：20.已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C过点.过点(1,0)做两条相互垂直的直线l1、l2分别与椭圆C交于P、Q、M、N四点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若，，探究：直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）由题意知，，解得，故椭圆的方程为.（Ⅱ）∵，，∴、分别为、的中点.当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，则直线的方程为，，，，，联立，得，∴，∴，，∴中点的坐标为；同理，中点的坐标为，∴，∴直线的方程为，即，∴直线过定点；当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；综上所述，直线过定点.

21.对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和(是给定的正整数，且)，再从每个子总体中各随机抽取个元素组成样本．用表示元素和同时出现在样本中的概率．(1)求的表达式(用表示)；(2)求所有的和．参考答案：(1)．(2)当都在中时，，而从中选两个数的不