第2课时两角和差正切公式及综合应用

第2课时两角和、差正切公式及和、差公式综合应用成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期知识探究·素养启迪课堂探究·素养培育知识探究·素养启迪知识探究两角和与差的正切公式[问题]你能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式吗?𝐜𝐨𝐬(𝜶+𝜷)

𝐜𝐨𝐬𝜶𝐜𝐨𝐬𝜷-𝐬𝐢𝐧𝜶𝐬𝐢𝐧𝜷提示:当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=𝐬𝐢𝐧(𝜶+𝜷)=𝐬𝐢𝐧𝜶𝐜𝐨𝐬𝜷+𝐜𝐨𝐬𝜶𝐬𝐢𝐧𝜷,𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷分子分母同除以cos

αcosβ,得tan(α+β)=

𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷

.根据α,β的任意性,在上面式子中,以-β代替β得tan(α-β)=𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧(-𝜷)

=

𝐭𝐚𝐧𝜶-𝐭𝐚𝐧𝜷

.𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧(-𝜷)

𝟏+𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷梳理

两角和与差的正切公式名称简记符号公式适用条件两角和的正切公式T(α+β)tan(α+β)=

𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷α,β,α+β≠kπ+𝛑(k∈Z)且𝟐tan

α·tan

β≠1两角差的正切公式T(α-β)tan(α-β)=

𝐭𝐚𝐧𝜶-𝐭𝐚𝐧𝜷𝟏+𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷α,β,α-β≠kπ+𝛑(k∈Z)且𝟐tan

α·tan

β≠-1小试身手𝟏+𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°1.计算

𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°-𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°

等于()(A)𝟏𝟐(B)√𝟑𝟐(C)√𝟑𝟑(D)√𝟑C𝟑解析:原式=tan(45°-15°)=tan

30°=√𝟑.故选C.解析:tan(α+β)=

𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷

=

𝟐+𝟓

=-𝟕.故选C.𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷 𝟏-𝟐×𝟓

𝟗(B)

𝟕(A)7

(C)-𝟕𝟏𝟎

𝟗(D)𝟕𝟗2.已知tan

α=2,tan

β=5,则tan(α+β)等于(

C

)𝟒

𝟒解析:tan

α=tan[(α-𝛑)+𝛑]=𝐭𝐚𝐧(𝛂-𝛑)+𝐭𝐚𝐧𝛑𝟒𝛑𝟒𝟏-𝐭𝐚𝐧(𝛂-

)𝐭𝐚𝐧𝟒𝛑𝟒=𝟔𝟏-𝟔𝟏+𝟏

𝟕𝟓𝟏=

.𝟒

𝟔3.若

tan(α-𝛑)=𝟏,则

tan

α=

.答案:𝟕𝟓解析:tan(A+B)=𝐭𝐚𝐧𝑨+𝐭𝐚𝐧𝑩𝟏-𝟐𝟑𝟏-𝐭𝐚𝐧𝑨𝐭𝐚𝐧𝑩

𝟏-𝟏×(-𝟐)=

𝟑

=-1,因为A+B∈(0,π),𝟒所以A+B=𝟑𝛑,𝟒所以C=π-(A+B)=𝛑.𝟑4.在△ABC

中,tan

A=𝟏,tan

B=-2,则角

C=

.答案:𝛑𝟒课堂探究·素养培育探究点一探究角度1两角和、差正切公式的应用应用两角和、差正切公式求值[例1]

(2020·河南联考)若cos

θ=-𝟒,且θ为第三象限角,则tan(θ+𝛑)的值等𝟓

𝟒于(

)(A)𝟏

(B)-𝟏

(C)-7

(D)7𝟕

𝟕𝟓解析:因为cos

θ=-𝟒,θ为第三象限角,𝟓所以sinθ=-ට𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽=-𝟑,𝐜𝐨𝐬𝜽

𝟒所以tan

θ=𝐬𝐢𝐧𝜽=𝟑,𝛑𝟒所以tan(θ+)=𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜽·𝐭𝐚𝐧𝟒𝟒

=𝟒𝛑𝐭𝐚𝐧𝜽+𝐭𝐚𝐧

𝛑

𝟑+𝟏𝟏-𝟒𝟑

=7.故选D.即时训练1-1:(2020·四川资阳高考模拟)已知角α的顶点在坐标原点O,始边与𝟒x轴的非负半轴重合,将α的终边按顺时针方向旋转𝛑后经过点(3,4),则tanα等于(

)(A)-7(B)-𝟏𝟕(C)𝟏𝟕(D)7𝟒 𝟏+𝐭𝐚𝐧𝜶

𝟑解析:根据题意,tan(α-𝛑)=𝐭𝐚𝐧𝜶-𝟏=𝟒,所以tan

α=-7.故选A.方法总结已知角α,β的三角函数值,求解形如tan(α±β)的值时,可先求出tan

α,tan

β,再利用两角和、差的正切公式求解.探究角度

2 角的变换与两角和、差的正切公式的应用𝟑[例2](2020·山东青岛市即墨区高三期中)已知α,β为锐角,tan

α=𝟒,cos(α+β)=-√𝟓,则

tan

β等于(

)𝟓𝟓(A)2

(B)𝟐√𝟓

(C)𝟐𝟑(D)𝟕𝟗𝟓解析:因为α,β为锐角,cos(α+β)=-√𝟓,𝟐所以𝛑<α+β<π,𝟓所以sin(α+β)=𝟐√𝟓,tan(α+β)=-2,𝐭𝐚𝐧(𝜶+𝜷)-𝐭𝐚𝐧𝜶所以

tan

β=tan[(α+β)-α]=

=-𝟐-𝟒𝟑𝟏+𝐭𝐚𝐧(𝜶+𝜷)𝐭𝐚𝐧𝜶

𝟏+(-𝟐)×𝟑𝟒=2,故选A.𝟒

𝟓

𝟒

𝟐即时训练

2-1:已知tan(α-𝛑)=𝟏,tan(𝛑+β)=𝟏,则tan(α+β)等于(

)(B)

𝟕(A)𝟕

(C)-

𝟑𝟗

𝟏𝟏

𝟏𝟏(D)𝟐𝟗解析:依题意tan(α+β)=tan[(α-𝛑)+(𝛑+β)]𝟒

𝟒=

𝟒

𝟒

𝐭𝐚𝐧(𝛂-𝛑)+𝐭𝐚𝐧(𝛑+𝛃)𝟒𝟒𝟏-𝐭𝐚𝐧(𝛂-𝛑)·𝐭𝐚𝐧(𝛑+𝛃)𝟏+𝟏𝟏-𝟏×𝟏𝟓

𝟐𝟕𝟗=

𝟓 𝟐

=.故选A.方法总结

(1)使用两角和、差正切公式求解“给值求值”问题时,若已知条件中的三角函数值中的角有两个或多个时,常利用角的变换,将待求角表示为其中的

“已知角”的和或差的形式后求解.(2)常见的角的代换关系α=(α+β)-β=β-(β-α),α=𝟏[(α+β)+(α-β)]=𝟏[(β+α)-(β-α)],𝟐

𝟐𝜶+𝜷=(α-𝜷)-(𝜶-β).𝟐

𝟐

𝟐探究角度

3 正切公式变形式的应用[例3]

(2020·浙江诸暨中学高一期中)tan

70°-tan

10°-√𝟑tan

70°tan

10°=

.解析:tan

70°-tan

10°-√𝟑tan

70°tan

10°=tan(70°-10°)(1+tan

70°tan

10°)-√𝟑tan

70°tan

10°=√𝟑(1+tan

70°tan

10°)-√𝟑tan

70°tan

10°=√𝟑+√𝟑tan

70°tan

10°-√𝟑tan

70°tan

10°=√𝟑.答案:√𝟑𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟏𝟕°𝐭𝐚𝐧𝟐𝟖°又tan(17°+28°)=𝐭𝐚𝐧𝟏𝟕°+𝐭𝐚𝐧𝟐𝟖°

=tan

45°=1,即时训练3-1:(2020·四川仁寿二中等校高一期末)(1+tan

17°)(1+tan

28°)=

.解析:原式=1+tan

17°+tan

28°+tan

17°tan

28°,所以tan

17°+tan

28°=1-tan

17°tan

28°,故(1+tan

17°)(1+tan

28°)=2.答案:2方法总结(1)当已知条件式或待求式中含两个角的正切的积或两角的正切和、差时,首先考虑两角和、差正切公式的变形.(2)化简过程中注意“1”与“tan

𝛑”,“√𝟑”与“tan

𝛑”等特殊数与特殊𝟒

𝟑角的函数值之间的转化.探究点二 给值求角[例

4]

(1)已知α,β均为锐角,且

sin

α=𝟐√𝟓,sin

β=√𝟏𝟎,则α-β=

.𝟓

𝟏𝟎解析:(1)因为α,β均为锐角,sinα=𝟐√𝟓,sin

β=√𝟏𝟎,𝟓

𝟏𝟎所以cos

α=√𝟓,cos

β=𝟑√𝟏𝟎.𝟓

𝟏𝟎所以cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsin

β=√𝟓×𝟑√𝟏𝟎+𝟐√𝟓×√𝟏𝟎=√𝟐.𝟓

𝟏𝟎

𝟓

𝟏𝟎

𝟐又因为sinα>sin

β,所以0<β<α<𝛑,所以0<α-β<𝛑.故α-β=𝛑.𝟐

𝟐

𝟒答案:(1)𝛑𝟒𝟐解析:(2)因为α,β∈(0,𝛑),所以α+β∈(0,π).因为cos

α=𝟏,cos(α+β)=-𝟏𝟏,𝟕

𝟏𝟒所以sin

α=𝟒√𝟑,sin(α+β)=𝟓√𝟑,𝟕

𝟏𝟒𝟐所以cos

β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos

α+sin(α+β)sin

α=𝟏.因为0<β<𝛑,所以β=𝛑.𝟐

𝟑(2)已知

cos

α=𝟏,cos(α+β)=-𝟏𝟏,α,β∈(0,𝛑),则β=

.𝟕

𝟏𝟒

𝟐答案:(2)𝛑𝟑解析:(3)因为(1-tan

α)(1-tanβ)=2,所以1-(tan

α+tan

β)+tan

αtan

β=2,所以tan

α+tan

β=tan

αtan

β-1,𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷所以𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷

=-1.所以tan(α+β)=-1.𝟐因为α,β∈(𝛑,π),所以α+β∈(π,2π).𝟒所以α+β=𝟕𝛑.(3)若α,β均为钝角,且(1-tan

α)(1-tan

β)=2,则α+β=

.答案:(3)𝟕𝛑𝟒𝟏𝟕𝟑𝟒解析:由tan

α=,tan

β=得tan(α+β)=𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷𝟏+𝟑𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷

𝟏-𝟏×𝟑𝟕

𝟒=

𝟕 𝟒

=1,因为0<α<𝛑,0<β<𝛑,𝟐

𝟐𝟒所以0<α+β<π,则α+β=𝛑.即时训练

4-1:若

0<α<𝛑,0<β<𝛑,且tan

α=𝟏,tan

β=𝟑,则α+β的值为

.𝟐

𝟐

𝟕

𝟒答案:𝛑𝟒方法总结(1)给值求角问题的步骤①求所求角的某个三角函数值.②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),根据范围找出角.

(2)选取函数的原则是函数在角的区间上严格单调,具体方法如下:①已知正切函数值,选正切函数.𝟐②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是(0,𝛑),选正弦或余弦函𝟐

𝟐数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是(-𝛑,𝛑),选正弦较好.[例5](1)𝟐𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟎°𝐬𝐢𝐧𝟕𝟎°的值是()(A)𝟏𝟐𝟐(B)√𝟑

(C)√𝟐

(D)√𝟑探究点三给角求值解析:(1)

=𝐬𝐢𝐧𝟕𝟎°

𝐬𝐢𝐧𝟕𝟎°=𝟐𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟎°

𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟑𝟎°-𝟐𝟎°)-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟎°

√𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝟎°+𝐬𝐢𝐧𝟐𝟎°-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟐𝟎°=√𝟑.故选D.答案:(1)D𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°(2)(tan

10°-√𝟑)·𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°的值为

.解析:(2)法一

原式=(tan

10°-tan

60°)·𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°=(𝐬𝐢𝐧𝟏𝟎°-𝐬𝐢𝐧𝟔𝟎°)·𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°

𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎°

𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°·=

𝐬𝐢𝐧(-𝟓𝟎°)

𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎°

𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°=-

𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎°=-2.法二原式=(𝐬𝐢𝐧𝟏𝟎°-√𝟑)·𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°

𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°=𝐬𝐢𝐧𝟏𝟎°-√𝟑𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°·𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°=

𝟐

𝟐

𝟐(𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏𝟎°-√𝟑𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°)𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°=𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟏𝟎°-𝟔𝟎°)𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎°=-2.答案:(2)-2解:𝐬𝐢𝐧𝟓𝟕°-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟕°𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟐𝟕°=𝐬𝐢𝐧(𝟐𝟕°+𝟑𝟎°)-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟕°𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟐𝟕°=𝐬𝐢𝐧𝟐𝟕°𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎°+𝐜𝐨𝐬𝟐𝟕°𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎°-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟕°𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟐𝟕°=𝐜𝐨𝐬𝟐𝟕°𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎°=sin

30°=𝟏.𝐜𝐨𝐬𝟐𝟕°

𝟐即时训练5-1:化简:𝐬𝐢𝐧𝟓𝟕°-𝐬𝐢𝐧𝟐𝟕°𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟐𝟕°.方法总结解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要善于逆用或变用公式.(3)当已知条件中切函数、弦函数共存时,常将切函数化弦函数.解析:因为α∈(π,𝟑π),cos

α=-𝟒,𝟐

𝟓𝟓所以sinα=-ට𝟏-𝐜𝐬𝟐𝛂=-𝟑,𝐜𝐨𝐬𝜶

𝟒所以tan

α=

𝐬𝐢𝜶

=𝟑,𝟒则tan(-α)=𝛑

𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝟏+𝐭𝐚𝐧𝜶𝟏-𝟑+𝟑𝟒𝟏𝟕=

𝟒=.故选B.备用例题[例

1]

已知α∈(π,𝟑π),cos

α=-𝟒,则tan(𝛑-α)等于(

)𝟐

𝟓

𝟒𝟕

𝟕(A)7

(B)𝟏

(C)-𝟏

(D)-7𝛑𝟑𝛑

𝛑𝟏𝟐

𝟒解析:tan(α-

)=tan(α- -

)=𝐭𝐚𝐧(𝛂-

𝛑

)-𝐭𝐚𝐧

𝛑𝟏𝟐𝛑𝟏𝟐𝟏+𝐭𝐚𝐧(𝛂-

)𝐭𝐚𝐧𝛑𝟒𝟒

=𝟐-𝟏

𝟏𝟏+𝟐

𝟑=,故选A.[例2](2020·河南南阳一中高二入学考试)若tan(α-𝛑

)=2,则tan(α-𝛑)𝟏𝟐

𝟑等于(

)(A)𝟏

(B)3

(C)-𝟏

(D)-3𝟑

𝟑[例3]

求值:𝐜𝐨𝐬𝟕𝟓°-𝐬𝐢𝐧𝟕𝟓°;𝐜𝐨𝐬𝟕𝟓°+𝐬𝐢𝐧𝟕𝟓°

𝟏+𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°

.√𝟑-𝐭𝐚𝐧𝟔𝟎°𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°解:(1)原式=𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟕𝟓°=

𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°-𝐭𝐚𝐧𝟕𝟓°

=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-√𝟑.𝟏+𝐭𝐚𝐧𝟕𝟓°

𝟏+𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°𝐭𝐚𝐧𝟕𝟓°

𝟑(2)原式=

𝟏+𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°

=

𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°+𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°

=

𝟏

tan(45°+15°)=

𝟏

×tan

60°=1.√𝟑(𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°)

√𝟑(𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°𝐭𝐚𝐧𝟏𝟓°)

√𝟑

√𝟑[例4]

(2020·宁夏银川二中高三期中)已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别𝟐

𝟐为tan

α,tan

β,且α,β∈(-𝛑,𝛑),则α+β等于(

)(A)𝟑π或-𝟑π

(B)-𝛑或𝛑

(C)𝛑

(D)-𝟑π𝟒

𝟒

𝟒

𝟒

𝟒

𝟒解析:因为tanα,tanβ是方程x2+3ax+3a+1=0的两根,所以tan

α+tan

β=-3a,tan

αtan

β=3a+1.𝟏-𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷所以tan(α+β)=𝐭𝐚𝐧𝜶+𝐭𝐚𝐧𝜷

=1.又因为α,β∈(-𝛑,𝛑),a>1,𝟐

𝟐则tan

α+tan

β=-3a<0,tan

αtan

β=3a+1>0.所以tan

α<0,tan

β<0,所以α,β∈(-𝛑,0).𝟐所以α+β∈(-π,0),结合tan(α+β)=1,𝟒所以α+β=-𝟑𝛑.故选D.课堂达标𝐭𝐚𝐧(𝟏𝟕°+𝟐𝟖°)

𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°解析:原式=

𝟏

=

𝟏

=1.故选B.1.𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟏𝟕𝐭𝐚𝐧𝟐𝟖°

等于()𝐭𝐚𝐧𝟏𝟕°+𝐭𝐚𝐧𝟐𝟖°(A)-1

(B)1(C)√𝟐