应力应变分析演示

（优选）应力应变分析当前第1页\共有57页\编于星期二\7点§10应力应变分析及应力应变关系§10.1应力的概念一点处的应力状态1.内力在变形体内某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的内力分量：——截面分布内力系向截面形心简化后的等效力系为正确描述变形，应在该截面上的每一点，描述内力的状况。xyz当前第2页\共有57页\编于星期二\7点AA在P点取面元A，A上分布内力合力为在m-m截面上P点处定义：m-m截面上P点的正应力m-m截面上P点的切应力（剪应力）m-m截面上P点的全应力应力的单位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa当前第3页\共有57页\编于星期二\7点2.变形体内某一点的应力状态——应力张量的概念正应力、切应力（或全应力）——均与过物体内部的某一点的一个截面有关过物体内部某点p的所有截面上的应力分量的总体，称为变形体在该点的应力状态描述变形体内部某点的应力状态，应用二阶张量描述当前第4页\共有57页\编于星期二\7点§10.2应力张量的表示方法（分量表示法）1.单元体的概念变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体xyzxyz单元体的三对表面：正面：外法向与坐标轴同向负面：外法向与坐标轴反向单元体是变形体的最基本模型当前第5页\共有57页\编于星期二\7点2.应力张量的表示方法单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力矢量（全应力），可分解为三个分量每对表面上的应力矢量互为反作用力，共9个分量xyzxyz各应力分量的记法该分量的指向所在面的法向两脚标相同——正应力两脚标不同——切应力当前第6页\共有57页\编于星期二\7点故应力张量的分量表示为：或或若记x=1,y=2,z=3,则当前第7页\共有57页\编于星期二\7点3.单元体的平衡条件xyzxCyCzC以单元体为分离体,过其形心C作xC,yC,zC轴：切应力互等定理故应力张量为二阶对称张量9个分量中，只有6个独立分量！当前第8页\共有57页\编于星期二\7点§10.3平面应力状态分析若某点的单元体应力状态满足：9个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在同一平面内——称为平面应力状态或二向应力状态xyz可简化为平面单元体：xy当前第9页\共有57页\编于星期二\7点例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体例如外力作用在板平面内的薄板内任意点取出的单元体当前第10页\共有57页\编于星期二\7点1.平面应力状态的工程表示方法xy正应力，以拉为正切应力，以使单元体顺时针转动为正应力分量的正负号规定：故切应力互等定理为：2.平面应力状态分析——解析法若某点的应力状态已知，可求出该点任意外法线与为n的斜截面上的应力分量。当前第11页\共有57页\编于星期二\7点已知：某点单元体上的应力分量xyn求该点外法线为n的斜截面——面上的正应力,切应力。沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dAnt同理可得：当前第12页\共有57页\编于星期二\7点斜面应力公式（10.1）(10.2)xyn当前第13页\共有57页\编于星期二\7点§10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力1.主平面主方向主应力在变形体内某一点处：若某一方向的斜截面上，则该截面称为主平面该斜截面的方向角称为主方向，记为P，则有(10.2)0~2内，得两个值和，且（10.3）主方向公式即这两个主平面相互垂直当前第14页\共有57页\编于星期二\7点主平面上的正应力称为主应力由斜面应力公式（10.1）令即（10.3）式同样有故，主平面上的正应力达到极值即主应力分别对应于的极大值和极小值将P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主应力为：（10.4)主应力公式当前第15页\共有57页\编于星期二\7点以主平面为单元体的各面则称为主单元体xy从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体主单元体的各表面上只有正应力，没有切应力对平面应力状态，z平面也为一个主平面，其上的主应力为零。故平面应力状态有三个主应力：按代数值大小排列为123分别称为第一主应力，第二主应力，第三主应力，当前第16页\共有57页\编于星期二\7点对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂直的主平面及三个主应力。一般应力状态的分类；某点的三个主应力全不为零——该点为三向应力状态某点有一个主应力为零——该点为二向应力状态某点有二个主应力为零——该点为单向应力状态，简单应力状态某点处所有截面上的正应力，其极大值为1，极小值为3当前第17页\共有57页\编于星期二\7点单向、双向、三向应力状态当前第18页\共有57页\编于星期二\7点2.某点单元体的最大切应力由斜面应力公式求导(10.2)上式的两个解S1，

S2为切应力达到极值的平面S与主平面P相差45º，即P1与P2的角平分线方向为S1和

S2的方向。切应力的极值为：PS45ºxPi当前第19页\共有57页\编于星期二\7点注意同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应力极值，分别为：该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即（10.5）主切应力所在平面所在平面所在平面当前第20页\共有57页\编于星期二\7点而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向的角平分线方向。321max思考题：最大切应力所在平面上的正应力是多少？=？当前第21页\共有57页\编于星期二\7点已知初始单元体的应力(单位：Mpa)，求主单元体上的应力并画出主单元体。解：xy例题1§10

应力应变分析与应力应变关系例题由初始单元体上的应力分量代入主应力公式：故三个主应力分别为当前第22页\共有57页\编于星期二\7点求主方向：例题1§10

应力应变分析与应力应变关系例题当前第23页\共有57页\编于星期二\7点§10.5应力圆一点处平面应力状态的图解法。xy由斜面应力公式可得(b)(a)上两式两边平方后相加圆的方程：圆心()圆的半径：上式在应力坐标系中为一圆，称为应力圆(莫尔圆)当前第24页\共有57页\编于星期二\7点圆心()圆的半径：R应力圆的画法：xy已知某点的平面应力状态为x面坐标Dx（）y面坐标Dy（）两点连线与轴的交点为圆心C以CDx为半径画出应力圆当前第25页\共有57页\编于星期二\7点应力圆的物理意义：圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上的正应力和切应力xy角以逆时针为正R2当前第26页\共有57页\编于星期二\7点因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周.应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力Rxy2当前第27页\共有57页\编于星期二\7点从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力主应力：主方向：方向最大切应力：当前第28页\共有57页\编于星期二\7点yx单元体的主应力、主方向、主切应力当前第29页\共有57页\编于星期二\7点（2）纯剪切（纯剪）TT主单元体45º-当前第30页\共有57页\编于星期二\7点几种工程上常见的应力状态的实例：（1）单向拉伸（2）单向压缩单拉-

单压当前第31页\共有57页\编于星期二\7点某点单元体应力状态如图，确定该点的主应力、主方向，画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力，（单位：）例题2§10

应力应变分析与应力应变关系例题当前第32页\共有57页\编于星期二\7点解：例题2§10

应力应变分析与应力应变关系例题与2对应主应力为：与1对应D当前第33页\共有57页\编于星期二\7点主单元体：

例题2§10

应力应变分析与应力应变关系例题当前第34页\共有57页\编于星期二\7点已知应力圆如图，画出该点的初始单元体及应力，主单元体及应力。（单位：）解：例题3§10

应力应变分析与应力应变关系例题初始单元体xy半径当前第35页\共有57页\编于星期二\7点主单元体：例题3§10

应力应变分析与应力应变关系例题xy112.5°当前第36页\共有57页\编于星期二\7点xzy§11.5三向应力状态将三个主应力按代数量的大小顺序排列因此根据每一点的应力状态都可以找到3个相互垂直的主应力和3个正交的主方向xzy当前第37页\共有57页\编于星期二\7点三向应力圆空间任意方向截面上的应力，可由三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。一点处最大的剪应力K当前第38页\共有57页\编于星期二\7点求，，，解：在，平面内例题4§10

应力应变分析与应力应变关系例题为一个主应力当前第39页\共有57页\编于星期二\7点一点的变形有正应变(线应变)和切应变(剪应变)§11.6应变分析1.某点处（单元体的）变形的描述——应变

xyz正应变——线段单位长度的改变量，无量纲切应变——直角的改变量，单位：弧度

某点处的应变——二阶对称应变张量当前第40页\共有57页\编于星期二\7点在，坐标下2.平面应变状态（与平面应力状态对应的）单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量xyxyxy当前第41页\共有57页\编于星期二\7点在，坐标下，方向到方向夹角令，，与平面应力状态的分析类似有某点各个方位应变的情况称为该点的应变状态当前第42页\共有57页\编于星期二\7点应变分析公式斜面应力公式（10.1）(10.2)当前第43页\共有57页\编于星期二\7点类似，也可求出该点的主应变，主应变方向当前第44页\共有57页\编于星期二\7点应变花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方向是重合的。可用于实验测定一点处的应变状态120°120°45°45°当前第45页\共有57页\编于星期二\7点胡克定律比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比§11.7应力应变关系1.单向应力状态横向应变纵向应变1当前第46页\共有57页\编于星期二\7点在线弹性范围内剪切胡克定律——切变模量

可证明2.纯剪应力状态当前第47页\共有57页\编于星期二\7点只有作用时3.广义胡克定律只有作用时只有作用时只有作用时当前第48页\共有57页\编于星期二\7点故某点为任意应力状态时应满足：当前第49页\共有57页\编于星期二\7点对主单元体当前第50页\共有57页\编于星期二\7点已知一构件表面一点的应变：求该点的主应力和最大切应力。例题5§10

应力应变分析与应力应变关系例题当前第51页\共有57页\编于星期二\7点解：则例题5§10

应力应变分析与应力应变关系