2021年陕西省咸阳市张家坳中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年陕西省咸阳市张家坳中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在三棱锥中,两两互相垂直，且,设是底面三角形内一动点，定义：，其中分别表示三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略2.实数x，y满足，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（）A．（1，0） B．（0，﹣2） C．（0，0） D．（2，2）参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y﹣3x得y=x+，平移直线y=x+由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，0），则z=2y﹣3x取得最小值的最优解（1，0），故选：A．3.设在四边形ABCD中，,若,则=（

）A.-16

B.16

C.25

D.15参考答案：B略4.正四面体ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点依次记为E，F，G，H．直线EG与FH的关系是（）A．相交且垂直 B．异面且垂直 C．相交且不垂直 D．异面且不垂直参考答案：A【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据中位线定理即正四面体的性质得出四边形EFGH是菱形，从而得出结论．【解答】解：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．∴EF，HGAC，EHBD，FGBD，又∵AC=BD，∴四边形EFGH是菱形，∴EG⊥FH，EG与FH相交．故选：A．5.各项均为正数的等比数列中，且，则等于（

）A．16

B．27

C．36

D．－27参考答案：B6.从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A．6

B．12

C．18

D．24参考答案：D略7.设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数k的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点。数形结合求出的范围。详解：由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合。，综上，，选A.点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题。画出这两个函数的图象是解题的关键。

8.函数的单调递减区间是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D9.对定义在上的连续非常函数，如果总成立，则称成等比函数.若成等比函数，则下列说法中正确的个数是（

）①若都是增函数，则是增函数；②若都是减函数，则是减函数；③若都是偶函数，则是偶函数；④若都是奇函数，则是奇函数；

A．

B．

C.

D．参考答案：A10.（5分）（2014?齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0B．1C．﹣1D．0或1参考答案：B【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x,y满足的约束条件,若目标函数的最大值为8,则的最小值为.（a、b均大于0）参考答案：4由得，，所以直线的斜率为，做出可行域如图，由图象可知当目标函数经过点B时，直线的截距最大，此时。由，得，即，代入得，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.12.若实数且，则

，

．参考答案：

13.设变量、满足约束条件则目标函数的最大值为_______．

参考答案：14.已知向量，则

参考答案：915.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．参考答案：216.已知复数，,那么=_________。参考答案：17.设O是△ABC内部一点，且的面积之比为

参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．参考答案：【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；（2）计算样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数；（3）计算抽取的6人中分数在[130，150]的人数，求出ξ的所有取值与概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）；…（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[130，150]的人有2人，依题意ξ的所有取值为0、1、2，当ξ=0时，；当ξ=1时，；当ξ=2时，；∴．…19.（本小题满分12分）已知函数．（1）若为函数的一个极值点，试确定实数的值，并求此时函数的极值；（2）求函数的单调区间．参考答案：解：（1）∵f（x）=2x3－3ax2+1，∴=6x2－6ax．依题意得=6－6a=0，解得a=1．

所以f（x）=2x3－3x2+1，=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．列表如下：x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1；当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．（2）∵=6x2－6ax=6x（x－a），∴①当a=0时，=6x2≥0，函数f（x）在（－￥，+￥）上单调递增；

②当a>0时，=6x（x－a），、f（x）随x的变化情况如下表：x（-∞，0）0（0，a）a（a，+∞）f′（x）+0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗

由上表可知，函数f（x）在（－￥，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+￥）上单调递增；

③同理可得，当a<0时，函数f（x）在（－￥，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+￥）上单调递增．

综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，+￥）；

当a>0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，0）和（a，+￥），单调递减区间是（0，a）；

当a<0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，a）和（0，+￥），单调递减区间是（a，0）．20.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获奖金1000元，3000元，6000元，不重复得奖。小王对三关中每个问题答正确的概率依次为，且各题答对与否相互独立

(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；

(2)设为小王获得奖金的数额，求的概率分布及数学期望.参考答案：（1）X0100030006000（2）

EX=2160略21.（本小题12分）函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）证明在上是增函数；（3）解不等式.参考答案：（1）由已知是定义在上的奇函数，，即.又，即，..

….4分（2）证明：对于任意的，且，则

，，

.，即.∴函数在上是增函数.

……….8分（3）由已知及（2）知，是奇函数且在上递增，

∴不等式的解集为

. ….12分22.已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围；（3）已知=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，由切线方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；（2）求出f（x）的解析式，由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣），即2lnx﹣m（x﹣）≤0，令?（x）=2lnx﹣m（x﹣），对m讨论，①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，讨论函数的单调性，即可判断；（3）对任意的k＞1，?（k）=2lnk﹣m（k﹣），由（2）知，当m=1时，?（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立，以及由（2）④知当0＜m＜1时，得到的结论，取k=，代入计算即可得到所求近似值．解答： 解：（1）f（x）=ax+，f′（x）=a﹣，由于f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0，则f′（1）=2，f（1）=0即a﹣b=2，a+b=0，解得a=1，b=﹣1；（2）f（x）=x﹣，由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣），即2lnx﹣m（x﹣）≤0，令?（x）=2lnx﹣m（x﹣）则?′（x）=﹣m（1+）=，①当m=0时，?′（x）=＞0恒成立，即有?（x）在（1，+∞）上单调递增，则?（x）＞?（1）=0，这与?（x）≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令△=4﹣4m2=4（1+m）（1﹣m），②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0即有﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即?′（x）≥0恒成立即?（x）在（1，+∞）上单调递增，即有?（x）＞?（1）=0，这与?（x）≤0矛盾，不合题意；③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），由韦达定理得x1?x2=1＞0，x1+x2=＜0，即x1＜x2＜0，则当x≥1时，﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即?′（x）＞0恒成立，即有?（x）在（1，+∞）上单调递增，则?（x）＞?（1）=0，这与?（x）≤0矛盾，不合题意；④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，即有?（x）在（1，x2）单调递增，当x∈（1，x2）时，?′（x）＞0，即有?（x）在（1，+∞）上单调递增，即有?（x）＞?（1）=0，这与?（x）≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，则?′（x）≤0恒成立，即有?（x）在[1，+∞）上单调递减，?（x）≤?（1）=0，合题意．综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立；（3）对任意的k＞1，?（k）=2lnk﹣m（k﹣），由（2）知，当m=1时，?（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立，即2lnk＜k﹣，取k=得ln＜