重积分的对称性与轮换对称性_第1页
重积分的对称性与轮换对称性_第2页
重积分的对称性与轮换对称性_第3页
重积分的对称性与轮换对称性_第4页
重积分的对称性与轮换对称性_第5页
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重积分的对称性与轮换对称性第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期三对称性对于二重积分的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：当f(x)在区间上为连续的奇函数时,当f(x)在区间上为连续的偶函数时,第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期三这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的。下面，我们将此结论类似地推广到二重积分第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期三解：第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期三积分区域D关于坐标区域内任意直线对称如果积分域D关于直线y=ax+b对称，则二重积分其中D1为D在以直线y=ax+b为轴的右半平面部分第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期三第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期三证明:若区域D对称于直线y=ax+b,不妨设a>0，即倾斜角为锐角.首先，平移坐标轴，得坐标系x'o'y'如上图即第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期三其次，将坐标系x'o'y'沿逆时针方向旋转，旋转角为(tan=a)使x'轴与直线y=ax+b重合．得新坐标系uo'v第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期三第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期三第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期三雅可比行列式为:即证第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期三第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期三解：由于积分区域D关于直线x=1对称，被积函数在区域D上关于（x-1）为奇函数y在区域D上关于（x-1）为偶函数第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期三补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期三第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期三第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期三轮换对称性第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期三第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期三其中D是平面x=0，y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧第十九页，共二十一页，编辑于2023年，星期三解：因为积分曲面D关于x，y，z具有轮换对称性，所以

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