2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第二章 直线和圆的方程 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离

第二章直线和圆的方程2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离基础过关练题组一点到直线的距离1.(2023广东广州期中)点(3,7)到直线2x-y-3=0的距离为()A.1B.22.(2023河北邢台会宁中学期中)设点M(x,y)是直线x+y-2=0上的动点,O为原点,则|OM|的最小值是()A.1B.23.(2022黑龙江哈尔滨德强高中期末)已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(3-2λ)y-(8+2λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离d的最大值为()A.224.(2023河南郑州四校联考)已知直线l过原点O,且点A(1,0),B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为()A.x-y=0B.x-2y=0C.x+y=0或x+2y=0D.x-y=0或x-2y=05.(2022湖北武汉武钢三中月考)点P在曲线y=x2+1上,当点P到直线y=2x-5的距离最小时,点P的坐标是.

6.(2023山西太原期中)在△ABC中,已知A(0,1),B(5,-2),C(3,5).(1)求边BC所在的直线方程;(2)求△ABC的面积.题组二两条平行直线间的距离7.直线l1:3x+4y=7与直线l2:6x+8y+1=0间的距离为()A.8B.4C.88.(2022山东济宁期中)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+1=0上的动点,则|PQ|的最小值为()A.1359.(2023江苏省运河中学期中)若平面内两条平行直线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为355,则实数a=(A.-2B.-2或1C.-1D.-1或210.(2023四川宜宾一中期中)直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,则l1,l2间的距离的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2]C.(0,5]D.(0,5)11.写出一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于5的直线方程:.

12.(2022北京首师大附中期中)已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.能力提升练题组距离公式的应用1.(2022江西南昌模拟,)若直线l:y=k(x+2)上存在两个不同点到原点的距离等于1,则k的取值范围是()A.(-2,2)B.(-3,C.(-1,1)D.−2.(2023河北石家庄十八中月考)若动点M(x1,y1),N(x2,y2)分别在直线x+y+7=0与直线x+y+5=0上移动,则MN的中点P到原点距离的最小值为()A.233.在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.44.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B32,12,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为A.130C.135.(2023河北保定月考)点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为.

6.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为.

7.(2022甘肃金昌永昌第一高级中学期中)如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,则l2的方程为.

8.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,能否找到一点P,使得点P同时满足:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由9.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程.

答案与分层梯度式解析第二章直线和圆的方程2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离基础过关练1.D2.B3.D4.D7.D8.C9.C10.C1.D点到直线的距离d=|2×3−7−32.B|OM|的最小值为点O到直线x+y-2=0的距离,即|OM|min=|−2|3.D由(1+3λ)x+(3-2λ)y-(8+2λ)=0(λ∈R),得(x+3y-8)+λ(3x-2y-2)=0,此方程是过两直线x+3y-8=0和3x-2y-2=0交点的直线系方程,设此交点为Q,联立x+3y−8=0,3x−2y−2=0,解得x=2,y=2,即Q(2如图所示,可知d=|PH|≤|PQ|=(−2−2)2+方法技巧解决方程中含参数的直线过定点类问题有两种方法:①任给直线方程中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,求出这两条直线的交点就是原直线所过的定点;②分离参数,将方程变形可得到一个直线系方程,提取出两条直线,并将其方程联立求解即得交点.一般使用第二种方法.4.D由题知直线l的斜率存在.∵直线l过原点O,∴可设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,∵A(1,0),B(3,2)两点到直线l的距离相等,∴k1+k2=|3k−2故直线l的方程为x-y=0或x-2y=0.故选D.5.答案(1,2)解析设P(x0,x02+1),所以点P到直线y=2x-5的距离d=|2x0−(x02+1)−5|22+(−1)2=|x02−2x06.解析(1)∵B(5,-2),C(3,5),∴边BC所在的直线方程为y−(−2)即7x+2y-31=0.(2)设点A到直线BC的距离为d,则d=|7×0+2×1−31又|BC|=(5−3)2∴S△ABC=12|BC|·d7.D3x+4y-7=0可化为6x+8y-14=0.易知l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|−14−1故选D.解后反思使用平行线间的距离公式前,需将两直线的方程都化成一般式,并且保证x,y的系数对应相等.8.C∵36=4∴两直线平行,∴|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离.方程3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,由两条平行直线间的距离公式,得d=|−24−1|62+89.C∵l1∥l2,∴a·(a-1)=2,解得a=2或a=-1.当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0即x+y+12=0,l1与l2间的距离d=2−122=当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0即x-2y-1=0,l1与l2间的距离d=|2+1故选C.10.C易知两直线之间的最大距离为A,B两点间的距离.由两点间的距离公式得|AB|=(1−0)2+(1+1)2=5.故l1,l2之间的距离的取值范围为11.答案x-2y+9=0(答案不唯一)解析由题可设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3).因为所求直线与直线x-2y+3=0的距离大于5,所以c−3|5>5,解得故与直线x-2y+3=0平行且距离大于5的一条直线的方程为x-2y+9=0(答案不唯一).12.解析①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,则l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0.直线l1,l2间的距离d=|1+5kk2+(−1)2所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.②若直线l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,满足条件.综上所述,l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.能力提升练1.D2.B3.C4.B1.D∵直线l:y=k(x+2)上存在两个不同点到原点的距离等于1,∴原点到直线l的距离小于1,即k×0−0+2k(−1)2+k22.B由题意知,P点的轨迹为平行于直线x+y+7=0与直线x+y+5=0且到两直线距离相等的直线,易得其方程为x+y+6=0,∴P到原点的距离的最小值即原点到直线x+y+6=0的距离,为62=33.C直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C.作出点P满足的图形如图所示.旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3.所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C.4.B如图,由两平行直线间的距离公式得|PQ|=32过点A作垂直于l1的直线,并在该直线上截取|AA'|=|PQ|.设A'(x0,y0),则x0连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,所以|AP|=|A'Q|,又|A'B|=13,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=13.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥325.答案7解析由点到直线的距离公式可得,点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离d=|3cosθ+4sinθ−12|32+42=|5sin(θ+φ)−12|5,其中tanφ=34,由正弦函数的性质可得,当sin(θ+φ)=-1时,d有最大值,且d故点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为756.答案2解析由x−2y+3=0,2x+3y−8=0,易知当PQ⊥l时,点P到直线l的距离最大,因为|PQ|=(1−0)2+(2−4)2=57.答案x+y-3=0解析因为直线l2平行于直线l1,所以可设直线l2的方程为x+y-b=0,由题可知b>1,则B(b,0),C(0,b),A(1,0),D(0,1),所以S梯形ABCD=S△OBC-S△OAD=12b2−12=4,解得b=±3,又b>1,故b=3,故直线l28.解析能.理由如下:设P(x0,y0).若点P满足条件②,则|2x0−y0+3|22+(−1)2=1若点P满足条件③,则|2x0−y0+3|22+(−1)又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,舍去.由4x0−2y由12∴满足题意的点P的坐标为199.解析解法一:因为