2021年国开电大《微积分基础》形考任务微积分基础作业

微积分基础下载作业姓名： 学号： 得分： 教师签名： 提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅.在线提交word文档.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传.一、计算题（每小题S分，共60分）1.计算极限3XT3x--X-6解: 原式=知与哗2牛血旦1=£13（工+2）（*-3）13*+25 2•计算极限胴Q土解: 原式=Hm段乓=limN=L*->-'(x+l)(x-3)f一32 3.计算极限1血；二6宀-2X--4解:原式=limx»2修衆二卜瓯号设y=xVx+sin4x.求dy.解：y=x2+sin4x31yf=—x2+4cos4x231dy=(-x2+4cos4x)dr设y=ln(x+l)—,求dy.x+1解：yf= = x+\(x+1)2(x+1)2dy= zdx(5设y=e*+—,求dy.解:y，*•咨-丄》 2&X2dy=(§-弟心14xx7.计算不定积分Jxsin2血解:fxsin2xdx=——xcos2x+—]cos2xdxJ 2 2J=-—xcos2x+—sin2x+c2 48.计算不定积分J盈产•解：原式勺W=^ln(x2+l)+c原式=2je^d-Jx=2e^+c计算定积分J：2加解：=2"|；-2j'oexdx=2e-2e+2=2计算定积分pnAdr.解：原式=xln_d：-|*；宓lnx=e-(e-l)=1计算定积分JJxcosAdr.解：原式=xsin-「sinxdx=cos戏=-2二、应用題(每小题1()分，共40分)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？1AQ解：设长方体底的边长为X,高为h,用材料为y,由巳知J方=108』=号尸宀4劝=宀氷.峰=宀竺x x令y'=2J一擊=0,解得x=6是唯一驻点,且尹=2+半鳶＞0,说明x=6是函数的极小点，也就是所求的最小值点。所以当x=6,h=3时用料最省。欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x,另一边长为坐，共用材料为yxy=3奸2丑=3x+竺

蓦'令y=0得唯一驻点x=12(x=-12舍去)因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12,另一边长为18时，所用材料最省。用钢板焊接一个容积为4立方米的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元,焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？4解:设水箱的底边长为X,高为h,表面积为s,则有h=—x-所以s(x)=x2+4xh=x2+—Xs'(x)=2x-^A令矿(同=0,得x=2,因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x=2,h=l时水箱的表面积最小。此时的费用为s(2)xl0+40=160(元)。4.某制罐厂要生产一种体积为卩的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与髙各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r,高为h,则其表面积为S,由已知V=^r2h,于是h=丄,nr则其表面积为S= +2nrh=Inr1+