湖南省湘潭市湘乡第四中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省湘潭市湘乡第四中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对数函数y=logax（a＞0且a≠1）与二次函数y=（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：对数函数的图像与性质；二次函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．解答：解：由对数函数y=logax（a＞0且a≠1）与二次函数y=（a﹣1）x2﹣x可知，①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y=logax为减函数，而二次函数y=（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x=，故排除C与D；②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y=logax为增函数，而二次函数y=（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x=，故B错误，而A符合题意．故答案为A．点评：本题考查了同一坐标系中对数函数图象与二次函数图象的关系，根据图象确定出a﹣1的正负情况是求解的关键，属于基础题．2.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（

）． A． B． C． D．参考答案：A由三视图可知，该几何体是三棱锥，其中底面是底边长为，高为的等腰三角形，棱锥高是，所以该几何体的表面积是：．故选．3.已知集合,则

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：D4.某篮球运动员6场比赛得分如下表：（注：第n场比赛得分为an）n123456an1012891110在对上面数据分析时，一部分计算如右算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是A．

B．2

C．

D．参考答案：C，由题意，易得：=故选：C

5.已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）①；②函数在处取得极小值，在处取得极大值；③函数在处取得极大值，在处取得极小值；④函数的最小值为.A.③

B.①②

C.③④

D.④参考答案：A由的图象可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．对于①，由题意可得，所以①不正确．对于②，由题意得函数在处取得极大值，在处取得极小值，故②不正确．对于③，由②的分析可得正确．对于④，由题意可得不是最小值，故④不正确．综上可得③正确．故选A．

6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（A）7

（B）12

（C）17

（D）34参考答案：C第一次运算：，第二次运算：，第三次运算：，故选C．7.已知双曲线,为实轴顶点,是右焦点,是虚轴端点,若在线段上(不含端点)存在不同的两点,使得构成以为斜边的直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.设，则不等式的解集为（

）A．B．

C．

D．参考答案：C9.直线被圆截得的弦长等于（

）A． B． C． D．参考答案：D连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，,根据（x+2）2+（y-2）2=2得到圆心坐标为（-2，2），半径为，圆心O到直线AB的距离OD=而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD=，所以AB=2BD=故选D

10.已知集合A={}，集合B={}，则A∪B等于A.(2,12) B.(-1,3) C.( -1,12)

D.(2,3)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知：P是直线的动点，PA是圆的一条切线，A是切点，那么的面积的最小值是____________.参考答案：12.代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．参考答案：0【分析】根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.【详解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（?x?x2?x3?x4?x5），∴（1﹣x）（1+x）5展开式中x3的系数为110．故答案为：0．【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.13.定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为

.参考答案：试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，不妨设，则.而，所以的最小值为.故选C.考点：1.利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题.14.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，直线与抛物线C相交于A,B两点，若是AB的中点，则抛物线C的方程为_______________.参考答案：略15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为

．参考答案：解析：在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，.16.已知sin且____________.参考答案：略17.已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．参考答案：，

若，则，此时，即的值域是。若，则，因为当或时，，所以要使的值域是，则有，，即的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（文科）（本小题满分12分）如图所示，已知直三棱柱，两两垂直,分别是的中点，

（1）证明：；

（2）求四面体的体积.参考答案：（1）如图连接,分别是的中点,故是的中位线，，又由,两两垂直知，，又面,面，则即面,则，故.（2）由题易知,两两垂直,过点做的平行线交于M，,,,故.19.（12分）如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点（1，）处切线的斜率为，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．（1）求圆C的方程；（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．参考答案：考点： 直线与圆的位置关系．专题： 直线与圆．分析： （1）根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆C的方程；（2）根据条件求出直线MN的斜率，即可得到结论．解答： （1∵点在圆C：x2+y2=r2上，∴．故圆C的方程为x2+y2=4．（2）设P（x0，y0），则x02+y02=4，直线BD的方程为x﹣y﹣2=0，直线AP的方程为y=+2联立方程组，得M（，），易得N（0，），∴kMN=2X===，∴直线MN的方程为y=x+，化简得（y﹣x）x0+（2﹣x）y0=2y﹣2x…（*）令，得，且（*）式恒成立，故直线MN经过定点（2，2）．点评： 本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力．20.(本小题满分13分)已知数列{}、{}满足：．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求证数列是等差数列，并求的通项公式；（Ⅲ）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围.参考答案：由条件可知恒成立即可满足条件，设当时，恒成立当时，由二次函数的性质知不可能成立当时，对称轴，在为单调递减函数．，

∴时

恒成立

……12分21.已知椭圆C：的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2（1）求椭圆C的方程；（2）设圆T：（x﹣t）2+y2=，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且t∈（1，3）时，求EF的斜率的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF1F2的周长是得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，另一两点求斜率公式得到kEF=．然后由函数单调性求得EF的斜率的范围．【解答】解：（1）由，即，可知a=4b，，∵△PF1F2的周长是，∴，∴a=4，b=1，所求椭圆方程为；（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由直线y=kx+1与T相切可知，即（9t2﹣4）k2+18tk+5=0，∴，由，得．∴，同理，则=．当1＜t＜3时，为增函数，故EF的斜率的范围为．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查了直线与圆相切的条件，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．22.如图，已知椭圆分别为其左右焦点，为左顶点，直线的方程为，过的直线l′与椭圆交于异于的、两点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若求证：M、N两点的纵坐标之积为定值；并求出该定值．参考答案：解：（Ⅰ）①当直线的斜率不存在时，由可知方程为代入椭圆得又∴，

------------------------------2分

②当直线的斜率存在时，设方程为代入椭圆得--------------------------4分----------------------------5分∴

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