中考常考基本几何模型16类

中考常考基本几何模型16类模型是对基础知识的深刻认识与提炼出的基本类型，注重基本知识的教学是强化模型思想意识的前提，注重模型在知识与知识中的应用，在具有实际背景中的应用等，可有效提高学生数学建模与解题能力.（数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.）模型1：将军饮马模型如图1,已知直线l和直线l外同侧两定点A、B,在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小.作法：作A（B）点关于直线l的对称点D，连接BD与直线l相交于一点，则此点为所求作的P点，PA+PB的值也最小.说明：这里利用点关于直线对称的性质，将一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题来达到求解的目的.细细分析这个基本几何模型，会发现隐含有如下两个基本结论：其一：同侧两三角形相似的问题如图1,若连接AD，交直线l于点石，并过点B作BF±l于点F，则有AAEP^ADEP^ABFP，如图2所示.例如图2-1,点E为长方形ABCD边CD上一点，在线段AD上作一点P，使AABPsADEP（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）.解：由于点B、点E均为定点且在定直线AD的同侧，要在AD上求一点P,使AABP-ADEP，所以本题符合基本模型中隐含的第一类问题，于是作B点（或E点）关于AD的对称点B'点（或E'点），连接B'E（或EB）,B'E（或E'B）与AD的交点即为所求作的P点，如图2-2所示.其二：同侧两线段差值最大的问题如图3所示，连接AB（不妨假设点A到直线l的距离大于点B到直线l的距离），设直线AB与直线l相交于点P,借助三角形的三边关系，可证明：PA-PBWAB.即：一定直线同侧两定点到这条直线上一动点的距离之差有最大值，其最大

值是两定点的距离.同侧两线段差值最大问题的变式:如图4所示，作点A关于直线l的对称点D，连接BD（不妨假设点A到直线l的距离大于点B到直线l的距离），设直线BD与直线l相交于P点,借助三角形的三边关系，可证明：PA-PBWBD.即：一定直线异侧两定点到这条直线上一动点的距离之差有最大值，其最大值等于其中一定点关于这条直线对称后的点与另一定点之间的距离.例如图4-1,在正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6,P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为.解：由于点M、点N是两个定点，并在定直线BD的异侧，要在BD上求一点P，使PM-PN的值最大，这显然属于基本模型中隐含的第二类问题中的变式形式，于是不妨作N点关于BD的对称点N'点，则PM-PN的最大值就是线段MN的长，如图4-2所示.•・•四边形ABCD是正方形，AB=8,点O是对角线AC与BD的交点，N是AO的中点，BM=6，,OA=OC,BD±AC,CM=2的中点，BM=6，,OA=OC,中点,贝UACBAs中点,贝UACBAsACMN', =即MN=2.BA4练习：2015年陕西中考副题第14题；2018年陕西中考副题第25题（三线段共线问题）模型2：三垂直模型如图5,AABC中，ZABC=90。，B点在直线l上，若过A、C点分别作l的垂线，垂足分别为D、石，则AADBsAB/C；若AB=BC时，则有AADB^ABEC.练习：2014年陕西中考副题第14题模型3:边定角等模型如图6,已知/A及其所对边BC的长均为定值时，求所有符合条件的A点或符合条件的三角形的最大面积.作法：先作一个符合条件的特殊AABC,再作它的外接圆。O,那么在松C上任取一点D（不与B、C重合），它与BC所构成的 Ea三角形都满足BC的长及BC所对的角是定值的要求.由圆的知识可 JZ知：所有符合题意的三角形就是上面点D与BC所构成的三角形.要 /。它的面积最大，只要三角形BC边上的高最长即可.作BC的垂直平//JC分线，设它与怜AC交于E点，与BC交于F点，于是S的最大图6AABC1—.值就是5EF-BC.

例如图6-1,以正方形ABCD的一边BC为边向四边形内作等腰ABCE,BE=BC,过E作EH±BC于H，点P是RtABEH的内心，连接AP，若AB=2，则AP的最小值为（请在图中画出点P的运动路径）.解：•・•点P是RtABEH的内心，・•.连接PE、PB,如图6-2所示，•・•/EHB=90。，DA图6-1HB图6-2・•・/BPE:135。，又、•等腰ABCE是以BC为边向正方形ABCD内作的，且BE=BC=2,•BE的长是确定的，位置是不确定的.若连接PC，由等腰三角形的性质可知：ABPE与ABPC关于BP所在的直线i成轴对称，且P点在直线i上，于是DA图6-1HB图6-2在ABPE中研究P点与A点的关系，就可转化在ABPC中来研究P点与A点的关系，在ABPC中，•二BC为定边，/BPC=135。，.・.P点应在以B、P、C三点确定的圆上，设圆心为。，则P点的运动路径为BC（不含B、C两点），如图6-3所示..,.求AP的最小值就转化为求圆外一点到圆上一点的最短距离了，于是连接OA、OB、OC，过O作OF±AB于F，7/BPC=135。，则BC为90。的弧，•/BOC=90。，则ABOC为等腰直角三角形，，ABOF也是等腰直角三角形，又:AB=2，.•.OB=无即圆半径为<2，则OF=BF=1，.,.由勾股定理得：OA=JOF2+（AB+BF）2="0，则AP的最小值为"0-v'2.练习：2014年陕西中考第25题、中考副题第25题；2016年陕西中考第25题第⑶问（存在性作图）；2017年陕西中考副题第25题.模型4:点、线平移模型如图7所示，在直角坐标系中，当线段AB平移至CD时，若已知A点坐标为（x,y），B点坐标为（x,y），C点坐标为1 1 2 2（x+k,y+h），则D点坐标就是（x+k,y+h）.11 22练习：2014年陕西中考副题第14题；第24题常用.模型5:平行四边形中，过中心的线平分平行四边形的面积模型D如图8,YABCD中，AC与BD相交于O点.若过O点任作一条直线l，则l将YABCD平分成两部分，且这两部分全等（面积相等）.D练习：2013年陕西中考第25题；2017年陕西中考第25题第⑵问.

模型6：角的顶点在一圆中相切线上，则这些角中必有最大值的问题模型如图9,直线l与eO相切于P点，P是直线l上任意一点，则有/APB^ZAPB.练习：2015年陕西中考第25题2015年陕西中考副题第25题模型7：共斜边的直角三角形的所有顶点在同一圆上的问题模型C四点、B、例（2017陕西中考第14题）：如图11/BAD=/BCD=90°,连接AC，若AC=6,,在四边形ABCD中则四边形ABCD的面积为图10AB=AD,:ZBAD=ZBCD=90°,・,.A、过D作DF±C四点、B、例（2017陕西中考第14题）：如图11/BAD=/BCD=90°,连接AC，若AC=6,,在四边形ABCD中则四边形ABCD的面积为图10AB=AD,:ZBAD=ZBCD=90°,・,.A、过D作DF±AC于F，如图12所示，B、则C、D四点共圆过B作BE±AC于E,/AEB=/DFA=90°，又/BAD=90°=/BAE+ZDAF,ZABE=/DAF,又•・•AB=AD,AABE^ADAF,ZDCA=ZBCA=45・•.BE=AF,DF=CF,/CDF=/DCF=45°,・•.BE+DF=AF+CF=6.DDCA图11图12B则°,则则S四边形ABCD,aBCA+'aDCA=1AC-BE+1AC-DF=1AC-(BE+DF)=18.模型8：点到直线上的所有连线中，垂线段最短的问题模型垂线段AP最短.PC垂线段AP最短.PC为邻边作的平行四边形，...对角线PQ与AC的交点。点应平分PQ与AC,而AC的如图13,定点A与定直线m上各点的连线中，长与位置是固定的，则。点就是一个定点，又•・.点P是BC上任意一点，因此要PQ最小，只要OP±长与位置是固定的，则。点就是一个定点，又•・.点P是BC上任意一点，因此要PQ最小，只要OP±BC即可，如图14-2所示.•・•/BAC=90。，AB=3,AC=4，,OC=2,由勾股定理可得：BC—5,；.sin/BCA=――=――，则0P=—，.二pQ的最小值为二~.BCOC 5 5练习：2016年陕西中考副题第14题模型9:过圆内一点，有最长（短）弦的问题模型如图15,在eO中，点A是eO内部异于圆心O的一点，则过点A所作的弦中，有最长弦直径EF即过点A、过圆心。的弦；有最短弦CD即过点A、且与EF垂直的弦.例如图16,AB是eO的弦，AB=6，点C是eO上的一个动点，且/ACB=45o.若点M,N分别是AB,BC的中点，则MN长的最大值是 .1一解：由于点M,N分别是AB,BC的中点，则MN=-AC.DDb要MN最大，则只要AC最大.由于AC是eO的弦，点C是eO上的一个动点，当C点运动时，AC就有可能过圆心O，于是AC就变为圆中最长的弦直径了，如图17所示.•^ACB=45o,AB=6,图15・•・AC最大为6V'2，则MN=3<2.图16 图17练习：2014年陕西中考副题第16题2016年陕西中考副题第25题模型10：借三边关系可求最值的问题模型如图18,点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b（a>b）.则AC的最大值为a+b；AC的最小值为a—b.例如图19,在AABC中，ZACB=90。，AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B重合），将ABCP沿CP所在的直线翻折，得到ABCP,连接B'A,则B'A长度的最小值为.解：在图19中，•二乙ACB=90。，AB=5,BC=3,.,.由勾股定理得：AC=4；由折叠性质知：CB=CB=3.在AACB中，由三角形的三边关系有：^A—CB'<B'A,・.・CA、CB的长均为定值，要B'A的长有最小值，只要有CA-CB'=B'A即B'点能落在AC上时，B'A的长有最小值（这解决了求BAA长度有最小值的可能性问题）.另一方面：当CP所在的直线是/ACB的平分线时，将ABCP沿CP所在的直

线翻折，得到ABCP,此时B'点恰好落在AC上即有CA-CB'=B'A（这解决了求B'A长度有最小值的存在性问题），如图20所示，・•・B'A长度的最小值是1.练习：2014年陕西中考副题第23题2016年陕西中考副题第25题模型11:圆（内）外一点到圆上一点的最值问题模型如图21所示，M点是eO的圆内或圆外的任意一点，则过圆心O点、M点的直线与圆交于F点，H点，则线段MF的长就是M点与圆上任意一点连线的最大值；线段MH的长就是M点与圆上任意一点连线的最小值.用几何直观性来分析:当过M点的直线与过M点直径所在的直线所构成的夹角越小，则相对来说MF的长也就越大了.例如图22,在矩形ABCD中，AD=2,AB=3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将AAEF沿EF所在直线翻折得到AA'EF，连接AC,则AC的最小值为.解：二.点E是AD边的中点，AD=2,AA'EF是AAEF沿EF所在直线翻折得到的，・•.EA=EA=1,又\,点F是射线AB上的一动点，，点A'也随着点F的运动而变化，但点A到定点E的长是定值1,则点A在以E点为圆心，1为半径的圆弧（在矩形ABCD内）上，如图23所示，从而把求AC的长转化成求圆外一点到圆上一点的最短距离问题，如图24所示，连接CE，则CE=\，CD2+DE2=./10，二A'C的最小值为<10-1.练习：2017年陕西中考第25题第⑶问模型12:直角三角形中，三边的函数关系问题模型如图25,AABC中，ZACB=90°,当a为定值时，对c2=a2+b2来说：当b有最大（小）值时，贝吧也有最大（小）值；反之，当有最大（小）值时，则b也有最大（小）值；当c为定值时，对b2=c2-a2来说：当a有最大（小）值时，则b也有最小（大）值.例如图26,在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且AF±EF，则AE的最小值为.解：设CF=x（0Vx<3）,则DF=3-x.・.•四边形ABCD是正方形，且AF±EF,ADDF （3-x）•x・•・AADFsAFCE,则—=--，:,CE=（ ）.由于AB为定值，在直角三角形CFCE 3

TOC\o"1-5"\h\z一— 一— 1 3.3AB中,要AE最小,则要^^最小即要CE最大即可.：CE一行(x一升+“又丁1…-3 - 3 -—7＜。且。＜x＜3，，当x=—时，CE有最大值7，则BE最小为3 2 49 - 15:，・••由勾股定理可得：AE的最小值为二.44模型13:已知四边形两条对角线的长，求四边形面积最大值的问题模型如图27,四边形ABCD中，已知AC、BD的长是确定的，要求四边形ABCD面积的最大值，则S=:AC-BD. n,2-图27B练习：如图27-1，在RtAABC中，ZABC=90。，AB=4，BC=3，点D，E在AABC所在的平面内，且CE=1，点D在AC的上方，连接AE，BD.若AE=BD，则四边形abed面积的最大值为 模型14:已知三角形两边之和为定值，且夹角确定，求三角形面积最大值的问题模型如图28，已知中AABC，/ABC=。°，点D、E分别是AB、BC上的两动点，且BD+BE=m.则有TOC\o"1-5"\h\z1 1 m m2S=BDgBEsin0=——sin9(BD——)2+——sin9，abde 2 2 2 8__m m2当BD=—时，S有最大面积为sin0［当0>90时,2 ABDE 8m2最大面积为丁