自动控制原理拉氏变换

（优选）自动控制原理拉氏变换当前第1页\共有29页\编于星期二\13点§2-2非线性数学模型的线性化§2-2非线性数学模型的线性化1.概念对于非本质非线性系统或环节，假设系统工作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很小，各变量在工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非线性函数（数模）在工作点的某一邻域展开成泰勒级数，忽略高次（二次以上）项，便可得到关于各变量近似线性关系，我们称这一过程为非线性系统(数模)的线性化。当前第2页\共有29页\编于星期二\13点2.数学描述设系统的输入为x(t),输出为y（t），且满足y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。设t=t0时，x=x0,y=y0为系统的稳定工作点（x0,y0）,§2-2非线性数学模型的线性化当前第3页\共有29页\编于星期二\13点§2-2非线性数学模型的线性化当|x-xo|很小时，忽略其二阶以上各项，得：在该稳定工作点处将f(x)泰勒展开为：即：当前第4页\共有29页\编于星期二\13点也即：是线性化模型例：将上例流体运动非线性方程线性化如：可将非线性特性在处线性化§2-2非线性数学模型的线性化当前第5页\共有29页\编于星期二\13点即有：去掉即为线性化方程。不难看出线性化方程与工作点有关，工作点不同，方程就不同。代入原方程得：§2-2非线性数学模型的线性化当前第6页\共有29页\编于星期二\13点自动控制系统的典型输入信号§3-1控制系统的暂态响应分析一、典型输入信号为了对系统性能进行分析、比较，给出了几种典型输入信号

①阶跃输入定义如下0tAxrA=1时称为单位阶跃信号对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。当前第7页\共有29页\编于星期二\13点§3-1控制系统的暂态响应分析②斜坡（匀速）输入A0txr(t)相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。当前第8页\共有29页\编于星期二\13点§3-1控制系统的暂态响应分析③抛物线（匀加速）输入xr(t)0t相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置信号，该恒加速度为A。当前第9页\共有29页\编于星期二\13点§3-1控制系统的暂态响应分析④脉冲函数当A=1，ε∞时

称为单位脉冲函数δ（t）

，其面积为1δ（t）

εt0ε1⑤正弦函数用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。当前第10页\共有29页\编于星期二\13点

拉普拉斯变换(Laplace变换)拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用当前第11页\共有29页\编于星期二\13点

在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段，所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。当前第12页\共有29页\编于星期二\13点在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为设函数当有意义,而且积分（是一个复参量）

称上式为函数的拉普拉斯变换式ℒ

叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,一、拉普拉斯变换的概念=ℒ当前第13页\共有29页\编于星期二\13点二、一些常用函数的拉普拉斯变换

例2求单位阶跃函数的拉氏变换

解

ℒ例1求单位脉冲函数的拉氏变换

解

ℒ当前第14页\共有29页\编于星期二\13点例3求函数的拉氏变换

解

ℒ

例4求单位斜坡函数的拉氏变换

解

ℒ

当前第15页\共有29页\编于星期二\13点例5正弦函数当前第16页\共有29页\编于星期二\13点是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有周期函数的拉普拉斯变换

这是求周期函数拉氏变换公式

的周期函数,即可以证明:若ℒ

当前第17页\共有29页\编于星期二\13点（1）线性性质三拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理（3）积分定理（4）实位移定理（5）复位移定理（6）初值定理（7）终值定理（终值确实存在时）ℒ当前第18页\共有29页\编于星期二\13点《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件：事实上：的极点均处在复平面的左半边。不满足终值定理的条件。

当前第19页\共有29页\编于星期二\13点四拉氏反变换（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）例1已知，求解.当前第20页\共有29页\编于星期二\13点1利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换

一些常用函数的拉氏变换当前第21页\共有29页\编于星期二\13点《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所22典型信号的拉氏变换（2）当前第22页\共有29页\编于星期二\13点2.用留数法分解部分分式一般有其中：设I.当无重根时当前第23页\共有29页\编于星期二\13点例2已知，求解.例3已知，求解.当前第24页\共有29页\编于星期二\13点II.当有重根时(设为m重根，其余为单根)当前第25页\共有29页\编于星期二\13点例5已知，求解.当前第26页\共有29页\编于星期二\13点常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法

利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.当前第27页\共有29页\编于星期二\13点