中考专题训练阿氏圆

在前面的“胡不归〃问题中，我们见识Y“kPA+PB〃最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆〃问题.所谓“阿氏圆〃，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆.如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k(kN1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.以下给出两种证明法一：构造角分线先复习两个定理(1)角平分线定理：如图，在^ABC中，AD是NBAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC.证明：利用等积法即AB:AC=DB:DC(2)外角平分线定理：如图，在4ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB:AC=DB:DC.证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则^ACD^AED(SAS),CD=ED且AD平分回BDE,贝UDB:DE=AB:AE,即AB:AC=DB:DC.接下来开始证明：如图，PA：PB=k,作^APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k,故M点为定点，即回APB的角平分线交AB于定点;作回APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k,故N点为定点，即^APB外角平分线交直线AB于定点；又△MPN=90°,定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.中考专题训练阿氏圆模型阿氏圆(阿波罗尼斯圆)： PA已知平面上两定点A、B,则所有满足PA=k(k中1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古PB希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似(也叫“母子型相似“)+两点间线段最短，解决带系数两线段之和的最值问题.PA 观察下面的图形，当P在。O上运动时，用PA、PB的长在不断的发生变化，但——的比值却始终保PB持不变.解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目：例,已知口ACB=90°,CB=4,CA=6,DC半径为2,P为圆上一动点.(1)求AP+1BP的最小值为2(2)求1AP+BP的最小值为3阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：AP+kBP第一步：连接动点和圆心C（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），即连接CP、CB；第二步：计算这两条线段长度的比—=kCB,, , , •一..一CM第三步：在CB（即定边）上取点M，使得C—=kCP第四步：连接AM，与圆C交点即为点P；第五步：计算AM的长度，即为AP+kBP的最小值.实战演练：.在4ABC中，NACB=90°,AC=4,BC=3,点D为^ABC内一动点，且满足CD=2,贝UAD+2BD的最3.已知点A(4,0),B(4,4),点P在半径为2的。O上运动，则1AP+BP的最小值是 2.已知点A(-3,0),B(0,3),C(1,0),若点P为口。上一动点，且口。与y轴相切.⑴求4A+BP的最小值；⑵求△.面积的最小值.4.在平面直角坐标系中，A(24.在平面直角坐标系中，A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是4AOB外部的第一象限内一动点，且NBPA=135°,则2PD+PC的最小值是试求试求争C+PD的最小值.5.已知口0半径为1,AC、BD为切线，AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点，巩固练习：.如图，在nABC中，nB=90°,AB=CB=2,以点B为圆心作。B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+兰PC的最小值是 ..如图，菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°,OA与BC相切于点E,在。A上任取一点P,求PB+——PD的最小值..(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD+1PC的最小值

（2）如图2,已知正方形ABCD的边长为9,OB的半径为6,点P是。B上的一个动点，那么PD+-PC3的最小值为 ；（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，口3=60°，圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，那么PD+-PC的最小值为PD+-PC的最小值为2.如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（存0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMDAB于点M.（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设nPMN的周长为C]/AEN的周长为C2,若|，求m的值；2（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,，旋转角为a（0°<a<90°），连接E,A、E'B，求E'A+2E'B的最小值.3问题提出：如图1,在RtAABC中，ZACB=90,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点，连结AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。⑴尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2，又・・・NPCD=NBCP,AAPCD-ABCP.APD/BP=1/2,APD=1/2BP,.•・AP+1/2BP=AP+PD.请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+1/2BP的最小值为.⑵自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1/3AP+BP的最小值为.(3)拓展延伸：已知扇形COD中，NCOD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CD'上一点，求2PA+PB的最小值。

反过来还原：如图，点A,B在OO上，OA=OB=12且OA^OB点C是OA的中点，点D在OB上且OD=10,动点P在OO上，则PC+1/2PD的最小值是多少？ ，如下图所示，在OA延长线上取点E,使得AE=OA连接OP,PE。因为OC/OP=1/2=OP/OE从而△OCPs^OPE(SAS)从而，PC/EP=1/2，即PE=2PC那么，PE+PD=2PC+PD=2(PC+1/2PD)那么只要求出PE+PD最小值，再除以2即可得到问题的解。很显然，当P点落在DE连线与圆O的交点P'上时，PE+PD取得最小值。此时，PE+PD=DE=V(ODA2+OEA2)=V(10A2+24A2)那么，PC+1/2PD的最小值即为26/2=13。⑴如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1/2PC的最小值和PC-1/2PC的最大值；⑵如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+