1.4.2 充要条件-高中数学人教A版必修一 课件（共22张PPT）

第一章

集合与常用逻辑用语1.4

充分条件与必要条件1.4.2

充要条件学习目标：(1)了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．(2)通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力.重点：对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解． 难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；（4）若是空集，则A与B均是空集.上述命题中的（1），（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作：此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的的充要条件.充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件充要条件从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:（1）A

B且B

A，则A是B的（2）A

B且B

A，则A是B的（3）A

B且B

A，则A是B的（4）A

B且B

A，则A是B的例1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qp，从而p不是q的充要条件.例1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形的三边成比例；解：（2）因为若p则q是相似三角形的性质定理，若q则p是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，所以pq，从而p是q的充要条件.例1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？解：（3）因为xy>0时，

x>0,y>0不一定成立，所以pq，从而p不是q的充要条件.（3）p：xy>0

，q：x>0,y>0；例1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（4）p：是一元二次方程的一个根，q：.解：（4）因为若p则q，若q则p均为真命题，所以pq，从而p是q的充要条件.练习：用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要例2.

已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.PQO证明：如图，作于点P，则OP=d.若d=r，则点P在⊙上.在直线上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.(1)充分性(p

q)：所以，除点P外直线上的点都在⊙的外部，即直线与⊙仅有一个公共点P.所以直线与⊙相切.在

中，OQ>OP=r.若直线与⊙相切，不妨设切点为P，则,d=OP=r.(2)必要性(qp)：所以，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.1:下列命题中,p是q的充分条件的是_____________.①p:a+b=0,q:a2+b2=0;②p:x>5,q:x>3;③p:四边形是矩形;q:四边形对角线相等;课堂巩固练习②③解析:①∵a+b=0⇏a2+b2=0,即p⇏q,∴p不是q的充分条件.②∵x>5⇒x>3,即p⇒q,∴p是q的充分条件.③∵四边形是矩形⇒对角线相等,即p⇒q,∴p是q的充分条件.2.指出下列条件中,p是q的什么条件,q是p的什么条件.(1)p:∠C=90°;q:三角形ABC是直角三角形;(2)p:A∩B=A;q:AB.解:(1)∵∠C=90°⇒△ABC为直角三角形.∴p⇒q.∵△ABC是直角三角形,也可能∠B=90°,∴q

p.∵p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(2)∵A∩B=A⇒A⊆B,∴p

q.又AB⇒A∩B=A,∴q⇒p.∴p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.3.已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1.该条件是否是必要条件?证明你的结论.证明:若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1.∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件,证明如下:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b2+1)2=0,∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2=1.∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.课堂小结1.充要条件：既有，又有，则：p是q的充要条件.充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件充要条件2.从