法学电大经济数学基础模拟练习题

经济数学基础模拟练习题选择题：.设f(x)=1，则f(f(x))=

x(x)．x.已知f(x)=--T，当(XT0)时，f(X)为无穷小量.sinx.若F(X)是f(X)的一个原函数，则下列等式成立的是().B.Jxf(X)dx=F(X)—F(a)a.以下结论或等式正确的是(对角矩阵是对称矩阵).(X+X=1.线性方程组11∣2c解的情况是(无解).IX+X=0126下列函数中为偶函数的是(y=XsinX)..下列函数中为奇函数的是(y=X3-X).下列各函数对中，(f(X)=sin2X+cos2X,g(X)=1)中的两个函数相等..下列结论中正确的是(奇函数的图形关于坐标原点对称).10.下列极限存在的是(limX2X→∞X2—1).r 1—Jl+2X11.函数f(x)=1Xk,X≠0在X=0处连续，则k=(-1).X=0.曲线丁=SinX在点(π,O)(处的切线斜率是(—1)..下列函数在区间(一∞,+∞)上单调减少的是(2—X)..下列结论正确的是Xn是f(X)的极值点，且f'(Xn)存在，则必有f'(x0)=O0). F°.设某商品的需求函数为q(P)=10e2，则当P=6时，需求弹性为(一3).1—X.若函数f(X)= ,g(X)=1+x,则f[g(—2)]=(-2 ).X.下列函数中为偶函数的是(y=XsinX).18.函数y=嬴%的连续区间是(IDS2，+")19.1曲线y=. 1在点(0,1)处的切线斜率为(%：X+120.设Jf(X)dx=lnx+C，则f(X)=(X1—lnXX2).21.下列积分值为0的是(1eX—e—X1 dx-1 2).22.设A=(12)，B=(—13)，I是单位矩阵，12%—23则ATB—1=( CU).23.设A,B为同阶方阵，则下列命题正确的是( ).B.⅛AB≠O，则必有A≠O,B≠O.当条件(b=O)成立时，n元线性方程组AX=b有解..设线性方程组AX=b有惟一解，则相应的齐次方程组AX=O(只有0解).填空题：1．V4-X2函数'=E)的定义域是3.2．函数y=4--X2+1厘的定义域是—U(-1,2]3．若函数f(X-1)=X2-2X+6，则f(X)=X2+5f(x+h)-f(x)-14．若函数f(X)=—，则

1+X(1+X)(X+1+h)5.设f(X)=10x+10-X一,则函数的图形关于皿对称.h26．已知需求函数为202 3q=F--3夕，则收入函数R(q)=-10q-2q2.7.limX→∞x+sinx8.已知f(x)=<XW0，若f(X)在(一∞,+∞)内连续，则a=，X=09.曲线f(X)=X2+1在(1,2)处的切线斜率是：210．11．过曲线)=e-2X上的一点(0，1)的切线方程为y=-2X+1函数y=(X-2)3的驻点是x=2.12．-p P需求量q对价格p的函数为q(p)=80义e^2，则需求弹性为-213．1干的定义域是写：[-2,-I)U(-1,2]xι、.X2-1X-1a函数y=-V4-X2+14．如果函数y=f(χ)对任意χ,则称y=f(χ)是单调减少的.<X2时，有f(Xl)>f(x2),x2，当X115．tanX已知f(X)=1-X，当XT0时，f(χ)为无穷小量.*16．17．过曲线y=e-2X上的一点(o,i)的切线方程为：y=-2X+1若Jf(X)dX=F(X)+c,则Je-Xf(e-X)dX=-F(e-X)+c18．J0e3XdX=-∞19．23-1，当a=0时，A是对称矩阵.设A=1a21300320．设A,B,C,D均为n阶矩阵，其中B,C可逆，则矩阵方程A+BXC=D的解X=B-1(D-A)C-1.21.设齐次线性方程组AXI=O「且r(A)=r<n,则其一般解中的自mXnnx1 mx1由未知量的个数等于n-r.22.线性方程组AX=b的增广矩阵ɪ化成阶梯形矩阵后1201 0—A→042-1 1000 0d+1则当d=-1时，方程组AX=b有无穷多解.23.设于(X)=10X+10-X2，则函数的图形关于y轴一对称.24.函数y=3(X-1)2的驻点是Z=L25.贝Je-Xf(e-X)dX=-F(e-X)+C若1f(X)dx=F(X)+C,1 1-2 一.设矩阵A=4 3,I为单位矩阵，则(/-A)T0-42-21-1.齐次线性方程组AX=0的系数矩阵为A=0 100230-2则00IX=-2X-X此方程组的一般解为\1ɜ'IX= 2XL2 4三、微积分计算题1∙已知=2XsinX2,求y'.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得V=(2Xsinx2)'=(2χ)rsinx2+2χ(sinX2)=2χln2sinx2+2XCosX2(X2)'=2Xln2sinX2+2X2XcosX2.设y=cos2X-sinX2，求yy.解；y'=一sin2X2Xln2—2XCosX2.设y=ln2X+e-3X，求y'.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得2lnXy=(ln2X)+(e-3X)= -3e-3XX4.设y=x√x√x+lnX2,求y'.7解因为y=x4+2lnx，—7Y所以y=X4+—4X5.设y=esinX+tanX，求dy.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得dy=d(esinX+tanX)=d(esinX)+d(tanX)=esinXd(sinX)+——d—dxcos2X=esinXcosXdx+ dxcos2X=(esinχcosx+ )dxcos2X6.1-X已知f(x)=2χcosχ+ln——,

1+X求dy.解：因为f(X)=2XcosX+ln(1-X)-ln(1+X)f'(x)=2χln2∙cosχ-2χsinχ-111-X1+X=2χ[ln2∙cosχ-sinχ]----1-X2所以 dy=2χ(ln2∙cosχ-sinX)dχ----dχ1-X2.设y+/,求dy.解：因为y=(∖'ιnX+1 22XYInX (2X—1)22X—1)12所以dJ=y，dr=2XtInX (2X—1)2dɪ—+ln(1—X).设J= '求J(0).—1、,，1—X解：因为J=——(1—X)+[1+ln(1—X)](1—X)2ln(1一X)(1—X)2ln(1—0)所以J(0)= =0(1—0)2.设J=√lnX+e-2X，求dJ.1解：因为 j .(Inx)-2e-2X2√lnX2XVIn——2e—2XX1所以dy=(——=—2e-2X)dx

2XvInX工.计算积分J2XSmX2dχ0解：J,0X. 1 12XSinX2dx=J20X2XSinX2dx21—-cosX22121线性代数计算题1.1+ln(1—X)1—X求J,(0).设J=解：因为——(1—X)+[1+ln(1—X)]y，=1—X (1—X)2ln(1—X)(1—X)2所以J(0)ln(1—0)

(1—0)20解：因为y'=~C，—Sin%:x+2Xe-X2

2%:XSinxX.所以dy=(- 尸-+2xex2)dX2%/X3.J(lnX+sin2X)dx.解：J(lnX+sin2X)dX=XlnX-JdX+ɪʃsin2Xd(2X)2= X(lnX-1)-2cos2X+C4.Je2一.1 dX0XvI+lnX解：Je2-.1 dX=Je2 1 d(1+lnX)1x∙√1+lnX1√'1+lnX-62-4122设矩阵r(BAτ+C).2(Y3-1)1A=2√1+lnX解：因为baT+Ce2212102一B=0101-20，，L002Γ212一Γ11]Γ-60100-2+2200220_L-42Γ60一Γ-61一0「0-2+22=20L40-42102_C=，计算5.Γ0「一20一且BAτ+C=20→01020016.设矩阵A=1解：因为TT-12-1-1222-12201310010求a-1B.100100-10011110T0010-4-11410013-1111-2000101-50010-3-1—6-410016401-1001-3-4-561-3-3411-1即A-1=-5-3164-1-4所以A-1B=-56-3-347.求线性方程组x1<-x+2x-x=034+x-3x+2x=01232x-x+5x-3x4=04的一般解.解：因为系数矩阵A=T1001231202-1102-11-32T01-11-15-30-11-12-1010所以一般解为\1-1010=—2x+xx=x2 ：3 4-x34（其中X3,x4是自由未知量）x+x+x=11 2 38.当九取何值时，线性方程组I2x1+X2—4X3=入有解？并求一般解.一x +5x=113一111 1一解因为增广矩阵才=2 1一4λ-105 1一1 1 1 1--10-5-1T0-1-6λ-2T01 6 201 6 2000λ所以，当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为:X=5X-1\o"CurrentDocument"1 3x=-6x+22 3(X3是自由未知量〕13239∙设矩阵A=n15,求解矩阵方程XA=B解:因为21-5132所以，X=21-1-121-12T-53J_3-1-1即135001T10210-1-311T001351223-523135122101x1 +x3=210.讨论当a,b为何值时，线性方程组＜x1+2X2-X3=0无解，有唯一解，有无穷2x1+XC-ax°=b

12 3多解.1解：因为12012-11-a12-2 -2-a-2b-410 1 2T01 -1 -100-a-1b-3所以当a=-1且b≠3时，方程组无解;当a≠-1时，方程组有唯一解；当a=-1且b=3时，方程组有无穷多解.1．四、应用题某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q=1000—10P(q为需求量，P为价格).试求：(1)成本函数，收入函数；(1)成本函数C(q)=(2)产量为多少吨时利润最大？60q+2000．2．3．因为所以(2)1q=1000-10P，即P=100-—q1收入函数R(q)=pXq=(100-诟q)q=.

因为利润函数L(q)=R(q)-C(q)1=100q-10q2-(60q+2000)=40q-10q2-20001且L'(q)=(40q-10q2-2000Y=40-0.2q令L'(q)=0,即40-0.2q=0,得q=200,它是L(q)在其定义域内的唯一驻

点.所以，q=200是利润函数L(q)的最大值点，即当产量为200吨时利润最大.

设生产某产品的总成本函数为C(X)=5+X(万元)，其中X为产量，单位：百吨.销售

X百吨时的边际收入为R(x)=11-2X(万元/百吨)，求：

⑴利润最大时的产量；⑵在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：⑴因为边际成本为C(X)=1，边际利润L'(X)=R'(X)-C(X)=10-2X令L'(X)=0,得X=5可以验证X=5为利润函数L(X)的最大值点.因此，当产量

为5百吨时利润最大.⑵当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为ΔL=J6(10-2X)dx=(10X-X2)即利润将减少1万元.66=-1(万元)5设生产某种产品X个单位时的成本函数为：c(X)=100+X2+6X(万元)，求:

⑴当X=10时的总成本和平均成本； ⑵当产量X为多少时，平均成本最小？解：⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C(X)=100+X2+6XK、100JC(X)= +X+6,X解，1所以，C(10)=100+1X102+6X10=260C(10)=100+1X10+6=2610 ，1001⑵C(X)=-—+1X24．令C(X)=0,得X=10(x=-10舍去)，可以验证X=10是C(x)的最小值点，所以当X=10时，平均成本最小. ，生产某产品的边际成本为C'(X)=5X(万元/百台)，边际收入为r'(X)=120-X(万元/百台)，其中X为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化？解：L'(X)=R(X)-C(X)=(120-X)-5X=120-6X令L'(X)=0得X=20(百台)，可以验证X=20是是L(X)的最大值点，即当产量为2000台时,利润最大.L=J22L'(x)dx=J22(120—6X)dx=(120X—3X2)2022=-122020(万元)，求⑴该产品的平均成本.⑵最低平均成本.解：(I)C=1C(q)dq=1(4q—3)dq=2q2—3q+18平均成本函数C=Cq)=2q一3+竺

qq万7。18 人尸7。18C=2-——，令C=2-——=0,解得唯一驻点X=6(百台)q2 q2因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为600台时，可使平均成本达到最低。18IC⑵最低平均成本为C⑹=2X6-3+-=12(万元/百台).生产某产品的边际成本为C，(x)=8X(万元/百台)，边际收入为R(x)=100—2X(万元/百台)，其中X为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？(较难)(熟练掌握)解(I)L'(X)=R(X)-C'(X)=(100-2X)-8X=100-10X令LTX)=0得X=10(百台)又X=10是L(X)的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L(X)存在最大值，故X=10是L(X)的最大值点，即当产量为10(百台)时，利润最大.(2)L=112L'(X)dX=112(100-10X)dX=(100X-5X2)∣12=-2010 10 10即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元．.∙生产某产品的边际成本为C'(q)=8q(万元/百台)，边际收入为R'(q)=100-2q(万元/百台),其中q为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：L (q) =R (q) —C (q) =(100- 2q) - 8q =100- 10q令L'(q)=0，得q=10(百台)又q=10是L(q)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故q=10是L(q)的最大值点，即当产量为10(百台)时，利润最大.又AL=112L'(q)dq=112(100-10q)dq=(100q-5q2)∣12=-2010 10 10.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)=0.5q2+36q+9800(元).为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？C(q) 9800解：因为C(q)= =0.5q+36+ (q>0)qq\o"CurrentDocument"9800 9800C(q)=(0.5q+36+ )，=0.5——q2q— 9800令C(q)=0,即°.5 ^=0,得q=