江西省赣州市瑞金象湖中学2022年高三数学文模拟试卷含解析

江西省赣州市瑞金象湖中学2022年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b，c∈{0，1，2，3}，记“该方程有实数根x1，x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C基本事件总数n=4×4=16．①当b=0时，c=0，2x2=0成立；c=1，2x2=1，成立；c=2，2x2=2，成立；c=3，2x2=3，不成立．满足条件的基本事件有3个；②当b=1时，c=0，2x2﹣x=0，成立；c=1，2x2﹣x=1，成立；c=2，2x2﹣x﹣2=0，成立；c=3，2x2﹣x﹣3=0，成立．满足条件的基本事件有4个；③当b=2时，c=0，2x2﹣2x=0，成立；c=1，2x2﹣2x﹣1=0，成立；c=2，2x2﹣2x﹣2=0，成立；c=3，2x2﹣2x﹣3=0，成立．满足条件的基本事件有4个；④当b=3时，c=0，2x2﹣3x=0，成立；c=1，2x2﹣3x﹣1=0，成立；c=2，2x2﹣3x﹣2=0，成立；c=3，2x2﹣3x﹣3=0，不成立．满足条件的基本事件有3个．∴满足条件的基本事件共有：3+4+4+3=14个．∴事件A发生的概率为p==．故选C．2.数列前n项和，对数列描述正确的是A.数列为递增数列

B.数列为递减数列C.数列为等差数列

D.数列为等比数列参考答案：【知识点】等比关系的确定；数列的函数特性．D2D3【答案解析】A

解析：?，所以是递增数列;不是等差数列也不是等比数列.故选A.【思路点拨】利用，利用函数的单调性及等差数列与等比数列的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可得到答案．3.若，则向量与的夹角为（）A．

B.

C.

D.参考答案：B4.设函数，则（）A．为f（x）的极大值点 B．为f（x）的极小值点C．x=2为f（x）的极大值点 D．x=2为f（x）的极小值点参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可．【解答】解：f′（x）=﹣+=，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x=2是函数的极小值点，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．5.设函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：6.已知是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，A． B． C． D．参考答案：B7.设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数的图象经过区域D，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是(

)A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（2x﹣） D．y=sin（2x+）参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数图象平移的法则，写出函数图象向左平移个单位，图象对应的函数解析式即可．【解答】解：函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是y=sin（2（x+）﹣），即y=sin（2x+﹣）=sin（2x+）．故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象平移的问题，解题时应明确图象平移的方法是什么（即左+右﹣），是基础题．9.以双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P，Q两点，若△MPQ为正三角形，则C的离心率等于（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程，可得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|=2，再由等边三角形的性质，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，即有M（c，），可得圆的圆心为M，半径为，即有M到y轴的距离为c，可得|PQ|=2，由△MPQ为等边三角形，可得c=?2，化简可得3b4=4a2c2，由c2=a2+b2，可得3c4﹣10c2a2+3a4=0，由e=，可得3e4﹣10e2+3=0，解得e2=3（舍去），即有e=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC=3DF，设=，=，则=（）A．+ B．+ C．+ D．+参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与运算性质，即可得出结论．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC=3DF，∴==（﹣）=（﹣），∴=﹣=+，设=，=，则=+=（+）+（﹣）=+=+．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则______________.参考答案：12.△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则?=．参考答案：6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先画出图形，结合条件及图形即可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：如图，===；∴==6．故答案为：6．13.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（Ⅰ）对任意，；（Ⅱ）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的序号为

．参考答案：①②14.等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得BC边上的高为||，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积?AB?AC?sin120°的值．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为?AB?AC?sin120°=，故答案为：．15.在区间上的最大值是_________.参考答案：2由,所以当x=0时，f(x)取极大值，也是最大值f(0)=216.在右程序框图的循环体中，如果判断框内容采用语句编程，则判断框对应的语句为．参考答案：17.关于函数有下列命题：①函数的图象关于轴对称；②在区间上，函数是减函数；③函数的最小值为；④在区间上，函数是增函数．其中正确命题序号为_______________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，M为PD的中点（1）证明：平面PAB（2）若是边长为2的等边三角形，求二面角的余弦值参考答案：（1）证明见解析

（2）【分析】（1）取中点，得到，从而平面，可得到四边形是平行四边形，得到，从而平面，得到平面平面，从而证明平面；（2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量和平面的法向量，利用向量夹角公式，得到二面角的余弦值.【详解】（1）如图取中点，连接和，为的中点，，平面，平面平面，，又，四边形是平行四边形，，平面，平面平面又因为，平面，平面，平面平面，而平面平面；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，为等边三角形，，不妨设，则，，设平面的法向量，由，得，令，得，平面PAB，平面的法向量二面角A-PB-M的余弦值为【点睛】本题考查面面平行的判定，面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.19.已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设

(Ⅰ）求函数的不动点；

(Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点、（假设），求使恒成立的常数的值；参考答案：（Ⅰ）设函数

(Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常数.20.已知直线和点P(3,1),过点P的直线与直线在第一象限交于点Q，与x轴交于点M，若为等边三角形，求点Q的坐标参考答案：因直线的倾斜角为，要使为等边三角形，直线的斜率应为，设，则，解得：，21.兰州一中在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。

非读书迷读书迷合计男

15

女

45

（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望和方差．附：0.1000.0500.0250.0100.001-k02.7063.8415.0246.63510.828参考答案：（1）2×2列联表如下：

非读书迷读书迷合计男401555女202545合计6040100

………2分易知的观测值

………4分因为，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.