湖南省张家界市刘家坪白族中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省张家界市刘家坪白族中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则下列结论正确的是

（

） A． B． C．

D．参考答案：C略2.若，其中，是虚数单位，则（

）A．-3

B．-2

C．2

D．3参考答案：D3.设函数，其中，则导数的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）满足f（1）＞1，则函数y=loga（x2﹣1）的单调减区间为(

) A．（1，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣1） D．（0，+∞）参考答案：C考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数单调性之间的关系进行求解．解答： 解：∵f（x）=ax（a＞0且a≠1）满足f（1）＞1，∴a＞1，设t=x2﹣1，由t=x2﹣1＞0得x＞1或x＜﹣1，∵y=logat是增函数，∴要求函数y=loga（x2﹣1）的单调减区间，即求函数t=x2﹣1的单调减区间，∵t=x2﹣1的单调减区间是（﹣∞，﹣1），∴y=loga（x2﹣1）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），故选：C点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据指数函数和对数函数的单调性，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．5.设，则“”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略6.复数=【

】

(A)2

(B)-2

(C)2i

（D）-2i参考答案：.【解析】.

7.设全集（

）为(A)｛1，2｝

(B)｛1｝

(C)｛2｝

(D)｛-1，1｝参考答案：C略8.已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示数列{an}的前n项的和，若a1=3，a2a4=144，则S5的值为

A．

B．69

C．93

D．189参考答案：C9.已知，则a、b、c的大小关系为（

）A．

B． C． D．参考答案：A10.若a实数，，则a等于

A．2

B．-1

C．1

D．-2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是_________．参考答案：12.如图是一个算法的流程图，则最后输出的S是__________．参考答案：-9考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为﹣9．解答： 解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1满足条件n≤6，S=﹣1，n=3满足条件n≤6，S=﹣4，n=5满足条件n≤6，S=﹣9，n=7不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为﹣9．故答案为：﹣9．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．13.有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有

种.（结果用数值表示）参考答案：86414.已知底面边长为，侧棱长为的正四棱锥内接于球.若球在球内且与平面相切，则球的直径的最大值为

．参考答案：815.函数的定义域为

．参考答案：16.已知曲线，则过点的切线方程是______________参考答案：答案：17.曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是．参考答案：x﹣y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y'=﹣2+3x2y'|x=﹣1=1而切点的坐标为（1，﹣1）∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大小．法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA∥平面EDB；（2）证明EF⊥PB，，即可证明PB⊥平面EFD；（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．依题意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．∴，这表明PA∥EG．而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）证明；依题意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．19.

（1）设是公差为d的等差数列，推导公式：若；

（2）若的前n项和，证明当C≠0时，数列不是等差数列．参考答案：解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1+(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1+(p＋q－2)d，又m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq.(6分)(2)当n＝1时，b1＝S1＝A＋B＋C；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn＋C－[A(n－1)2＋B(n－1)＋C]＝2An－A＋B，即当n≥2时，数列{bn}的通项公式为bn＝2An－A＋B，当n＝1时，b1＝A＋B＋C≠A＋B，所以数列{bn}不是等差数列．(12分)

略20.(本小题满分14分)设函数.（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.参考答案：（Ⅰ）当时，，，，所以切线的斜率为.…………2分

又，所以切点为.

故所求的切线方程为：即.………………4分（Ⅱ），，.………6分令，则.当时，；当时，.故为函数的唯一极大值点，所以的最大值为=.8分由题意有，解得.所以的取值范围为.……10分（Ⅲ）当时，.

记，其中.∵当时，，∴在上为增函数，即在上为增函数.…………12分又，所以，对任意的，总有.所以，又因为，所以.故在区间上不存在使得成立的（）个正数….…………14分21.已知函数在点处的切线方程为． (Ⅰ）求的表达式； (Ⅱ）若满足恒成立,则称是的一个“上界函数”,如果函数为（R）的一个“上界函数”,求实数的取值范围； (Ⅲ）当时,讨论在区间（0,2）上极值点的个数．

参考答案：（1）

，∴

（3分）（2）∵恒成立∴恒成立

，

∴当，∴的最小值为∴

（8分）（3），令=0，得（9分）当时，，为在区间（0,2）上的极大值点；当时，，为在区间（0,2）上的极值点；