专题-实数及其运算

课题 实数及其运算教学内容中考要求：理解有理数的意义，能用书抽上的点表示有理数，会比较有理数的大小，会用科学计数法表示数；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算，能运用运算律简化运算。了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系；会用平方运算求某些非负数的算术平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。能用有理数个估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念，能用计算器进行近似计算并按要求对结果取近似值，能运用实数的运算解决一些简单的实际问题。第1讲走进实数世界、【三年中考】1.（2010-宁波）一3的相反数是（)A.3 B.|C.一3 D.一3解析：因-3的相反数可表示为-（-3）=3，故选A.答案：A（2010-台州）一4的绝对值是（）A.4 B.一4 C.4 D.一4解析：由一个负数的绝对值是它的相反数，得-41=4，故选A.答案：A（2010-湖州）3的倒数是（）A.一3 B.一3 C.3 D.3解析：由倒数的定义可得3的倒数是1，故选C.答案：C（2009-温州）在0,1，—2，—3.5这四个数中，是负整数的是（）A.0 B.1 C.—2 D.—3.5

解析：由实数的分类可知，-2是负整数，故选C.答案：C5.（2008-金华）如果+3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为（ ）A.—5吨 B.+5吨C.—3吨 D.+3吨解析：因互为相反意义的量中，一个用“+”表示，则另一个用“-”表示，所以运出5吨可表示为-5吨，故选A.答案：A6.2010-湖州）2010年5月，湖州市第11届房交会总成交金额约2.781亿元.近似数2.781亿元的有效数字的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4解析：因为2.781中有4个有效数字，故选D.答案：D7.（2010-绍兴）自上海世博会开幕以来，中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光.据预测，在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到14900000,此数用科学记数法表示是（）A.1.49X106预测，在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到14900000,此数用科学记数法表示是（）A.1.49X106B.0.149X108C.14.9X107D.1.49X107解析：由科学记数法的形式aX10n,（1Wlal<10,n为整数）可得14900000=1.49X107.故选D.答案：D8.（2010-宁波）据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为（）A.0.82X1011 B.8.2X1010 C.8.2X109 D.82X108解析：因820亿=820X108=&2X1010，故选B.答案：B9.（2009-嘉兴）用四舍五入法，精确到0.1，对5.649取近似值的结果解析：由题目要求可得5.64905.6.答案：5.610.（2010-嘉兴）据统计，2009年嘉兴市人均GDP约为4.49X104，比上年增长7.7%.其中，近似数4.49X104有个有效数字.解析：因为4.49X104中有效数字分别是4,4,9.共3个・答案：3

二、【考点知识梳理】实数的有关概念数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴.实数和数轴上的点是一一对应的.相反数⑴实数a的相反数为二a；a与b互为相反数0a+b=0：相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等.3.倒数实数a的倒数是1，其中a兰0：aa和b互为倒数Oab=1.绝对值在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫做这个数的绝对值.即一个正数的绝对值等于它本身：0的绝对值是0：负数的绝对值是它的相反数.'a(a>0)即|a|=l0(a=0)、一a(a<0)实数的分类1.按实数的定义分类整数正整数〕整数正整数〕旧然数实数有理数实数正分数］有限小数或无 " 负分数限循环小数正无理数负无理数正无理数负无理数'无限不循环小数2.按正负分类［正整数正实数［正有理数］正分数< I正无理数实数〕零（既不是正数也不是负数）一巨］负整数<负有理数彳负实数负有数［负分数I负无理数温馨提示：正确理解实数的分类，特别注意-是无理数，不是分数；22是分数，不是无理数。2 7（三） 科学记数法、近似数、有效数字科学记数法把一个数N表示成aX10n（1Wlal<10,n是整数）的形式叫科学记数法.当NIN1时，n等于原数N的整数位数减1;当INIV1且NN0时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）.近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第一个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.三、【中考典例精析】类型一实数的有关概念*叨1（1）—5的倒数是（)A.5 B.5C.—51D-—5（2）—5的相反数是（）A.5 B.—5C1C.51D-—51（3） -方的绝对值是（）A.—4 B.—4 C.‘D.4（4） 下列实数中，是无理数的为（）A.3.14 B.3 Ca'3 D.仍【点拨】解决此类题的关键是准确掌握实数的有关概念.

【答案】(1)D(2)A(3)C(4)C类型二科学记数法、近似数与有效数字H2（1）2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470000人，将这个数用科学记数法表示为4.7X10n，那么n的值为（A.3B.4C.5D.A.3B.4C.5D.6（2）据统计2010年一季度浙江城镇居民人均可支配收入6631.67元，那么这个数的有效数字的个数是（）A.2B.4C.5D.6⑶横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（ShenzhenBayBridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数字用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（）A.47XA.47X102B.4.7X103C.4.8X103D.5.0X103⑷2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里.近似数13.7万是精确到（）十分位B.十万位C.万位 D.千位【点拨】用科学记数法表示的数必须满足aX10n（1Wlal<10,n为整数）的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.【答案】(1)C(2)D(3)C(4)D四、【易错题探究】把61万用科学记数法可表示为（）A.6.1X104 B.6.1X105 C.6.0X105 D.61X104【解析】61万=61X104-6.1X105，故选B.【易错警示】科学记数法aX10n中，要注意a的取值范围；审题时不仔细，容易漏掉61后面的单位.由四舍五入法得到的近似数8.8X103,下列说法中正确的是（）精确到十分位，有2个有效数字精确到个位，有2个有效数字精确到百位，有2个有效数字精确到千位，有4个有效数字【解析】理解近似数的概念是关键，8.8X103-8800,8.8X103中，第二个8在百位，所以精确到百位，8.8中有两个有效数字，故选C.【易错警示】用科学记数法aX10n（1W|a|<10，n为整数）表示的数，精确度看a中最后一位在原数中的位置；有效数字只看a中所有数字的个数.

五、【课堂基础检测】1.下列各数中，相反数等于5的数是（)A.—5B.5 C.1 1—一 D—5 D.5答案：A2.—6的绝对值是（ ）A.6B.—6 C.,1 1+6 d.-6答案：A 33.在实数5、7、n、如中，无理数是（)A.5 B.7 C.nD.V4答案：C如果+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）A.—18% B.—8% C.+2% D.+8%答案：B2010年一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是（）A.2.89X107B.2.89X106C.2.89X105D.2.89X104答案：B6.若Im—3l+（n+2）2=0，则m+2n的值为（ ）A.—4B.—1C.0D.4答案：B7.作为历史上第一个正式提出“低碳世博”理念的世博会，上海世博会从一开始就确定以“低碳、和谐、可持续发展的城市”为主题.如今在世博场馆和周边共运行着一千多辆新能源汽车，为目前世界上规模最大的新能源汽车示范运行，预计将减少温室气体排放约28400吨.将28400吨用科学记数法表示为（）A.0.284X105吨 B.2.84X104吨C.28.4X103吨 D.284X102吨答案：B六、【课后达标练习】一、选择题1.—2的相反数是（）A.1 B.—f C.2 D.—2解析：因-（—）=2,故选A.答案：A-1的倒数是（）A.-3 B.-1 C.1 D.3解析：因+=-3，故选A.—3答案：ATOC\o"1-5"\h\z|—；1的值是（ ）A.3 B.—3 C.3 D.—3解析：因i-；|二3，故选c.答案：C在一1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（）A.—1 B.0 C.1 D.2解析：由0既不是正数也不是负数知，选B.答案：B数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为（）A.6或一6 B.6 C.—6 D.3或一3解析：由绝对值的意义知，1±61=6,故选A.答案：A某市2009年实现生产总值（GDP）1545.35亿元，用科学记数法表示应是（结果保留3个有效数字）（A.1.54X108元 B.1.545X1011元 C.1.55X1010元 D.1.55X1011元解析：因1545.35亿元=1545.35X108元=1.54535X10n元^1.55X10n元，故选D.答案：D汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米记做（）A.5千米B.—5千米C.10千米D.0千米解析：因向东5千米记做5千米，所以向西5千米记做-5千米，故选B.答案：B如果a+b=0，那么a、b两个实数一定是（）A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数解析：因为互为相反数的两个数的和为0，故选C.答案：C甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为（ ）A.8.1X10-9米 B.8.1X10-8米 C.81X10-9米 D.0.81X10-7米解析：因为0.000000081=8.1X10-8，故选B.答案：B古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（）•v:/……•■♦■1-J 9=抓 1右书4】0A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21D.49=18+31解析：由前三个图的规律类推可得36=15+21,故选C.答案：C二、填空题在数轴上表示一讣的点到原点的距离为.解析：因^1-;'61=；6.答案：展上海世博会预计约有69000000人次参观，69000000用科学记数法表示为.解析：因为69000000=6.9X107.答案：6.9X107有一组数列：2，-3,2，-3,2，-3,2，-3，…，根据这个规律，那么第2011个数是 .解析：因2和-3循环，第奇数个为2，所以第2011个数为2.答案：2地球与太阳之间的距离约为149600000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为千米.解析：答案：1.5X108因为149600000=1.496X108^1.5X10s.15.将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第行第列.第一列第二列第三列第四列…第一行12910第二行43811第三行56712第四行16151413

第五行17解析：由产生前四行的规律类推可得第2008所在位置为第18行第45列.答案：1845三、解答题16.如图，点A16.如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是一3和Xx且点A、B到原点的距离相等，求x的值.-3 0 ]-JT1—x答案：解:V点A、B到原点的距离相等，「・一3+ =0，2—x解得x解得x=2,经检验x=5是原方程的解.即：x的值为5.第2讲实数的运算及大小比较一、【三年中考】（2010-温州）给出四个数0，也，一2，0.3，其中最小的是（）A.0 B.克 C.—2 D.0.3解析：因为正数>0>负数，所以-2最小，故选C.答案：C（2010-金华）如图，若A是实数a在数轴上所对应的点，则关于a，—a,1的大小关系表示正确的是（）0 ]A.a<1<—a B.a<—a<1 C.1<—a<aD.—a<a<1解析：在数轴上可表示出-a的位置可得a<1<-a.故选A.答案：A（2010-义乌）28cm接近于（ ）A.珠穆朗玛峰的高度 B.三层楼的高度 C.姚明的身高D.一张纸的厚度解析：因28cm=256cm，所以选C.答案：C（2009-丽水）在下面四个数中，比0小的数是（）A.0.5 B.-2 C.1 D.3解析：因为负数<0，故选B.答案：B（2009•嘉兴）实数x,y在数轴上的位置如图所示，则（）A.x>y>0B.y>x>0 C.x<y<0 D.y<x<0解析：因为数轴上的点表示的数右边总比左边大，所以y>x>0.故选B.答案：B（2008•绍兴）下列计算结果等于1的是（）A.（—2）+（—2） B.（—2）—（—2） C.—2X（—2） D.（—2）:（—2）解析：A中（-2）+（-2）=-4,B中（-2）-（-2）=0,C中-2X（-2）=4.D中（-2）:（-2）=1，故选D.答案：D（2010.嘉兴）比较大小：2巧n.（填">”，"<”或“二”）解析：因为^'2^2.828,兀^3.14159，所以2、克<兀答案：<（2009.衢州）计算：^2—1）0=.解析：因为a0（a/0）=1，所以（、扬-1）。=1.答案：1（2009.绍兴）计算：（一2）——血+（1—V2）0+4sin60°.-一 L..方 厂..L解：原式=—2—2%3+1+4X）=—2—2*3+1+2舄3=—1.二、【考点知识梳理】（一） 实数的运算实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方六种，其中减法转化为加法运算，除法、乘方都转化为乘法运算.在实数范围内运算顺序是：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.同一级运算，从左到右依次进行.零指数、负整数指数幂若a/0,则a0=1；若a/0,n为正整数，则a-n=~.an实数的大小比较在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，两个负数比较，绝对值大的反而小设a、b是任意两个数，若a—b>0，则a>b；若a—b=0，则a三b；若a—b<0，则a<_b.实数大小比较的特殊方法①平方法：由3>2,则指5；②商比较法：已知a>0、b>0，若：>1，则a>b；若b=1，则a=b；若b<1，则a<b•③近似估算法；④中间值法.n个非负数的和为0，则这n个非负数同时为0.例如：若|a|+b2+\/c=0，则a=b=c=0.温馨提示：注意零指数、负整指数的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算，关键是把好符号关。2-三个重要的非负数而0),同,a23.当两个无理数比较大小时，可用计算器求出其近视值，再比较。三、【中考典例精析】类型一实数的大小比较*引1(1)在一3，-.'3，—1,0这四个实数中，最大的是()TOC\o"1-5"\h\zA.—3 B.—\'3 C.—1 D.0(2)下面四个数中比一2小的数是()\o"CurrentDocument"A.1 B.0 C.—1 D.—3\o"CurrentDocument"⑶若0VXV1，则XT、X、X2的大小关系是( )A.X—1VXVX2 B.XVX2VX—1 C.X2VXVX—1 D.X2VX—1VX(4)如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a、一a、1的大小关系表示正确的是()\o"CurrentDocument" 1 11 ■-

A 0IA.av1v—a B.av—av1 C.1v—ava D.—avav1【点拨】本题主要考查数轴上所表示的数，原点左边的点表示的数为负数，右边的点表示的数为正数，正数大于零，负数小于零；数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.【答案】(1)D(2)D(3)C(4)A

类型二零指数、负整数指数幕i2(i)下列计算正确的是()A.30=0 B.-|-3l=-3 C.3—i=—3 D.＜9=±3计算：3-2=.计算：(寸7+n)o+2-i=.计算：2-i+\&tan30°-(n-2010)0【点拨】本题主要考查a^Ka/0),a-n二ha/。,n为正整数).【答案】(1)B【答案】(1)B(2)9⑶；(4)原式=2+展x瑚一i=2类型三实数的运算'(1)某年哈尔滨市一月份的平均气温为一18°C,三月份的平均气温为2°C,则三月份的平均气温比一月份的平均气温高()A.16C B.20CC.-16C D.-20C下列运算结果等于1的是()A.(—3)+(—3) B.(—3)—(—3) C.—3X(—3)D.(—3):(—3)计算：(一3)2—|—2l+2-1—'R.计算：(n—3.14)0+¥18+(—7)-1—11—-可'21.【点拨】实数的运算一定要把握好运算种类和运算顺序.【答案】(1)B(2)D⑶解：原式=9—2+2—3=6.(4)解：原式=1+A''2+(-2)-2-1)=1+3-扬一2—、•."+1=2、^.方法总结:实数运算的一般步骤：(1)观察运算的总类；(2)确定运算的顺序；(3)把握每步运算法则和符号(4)灵活运用运算律四、【易错题探究】1.在1,—2,—仍，0,n这五个数中最小的数是 .【解析】明确实数大小比较的方法一数形(画数轴)结合法.正数＞0＞负数，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.所以最小的数是-2.【易错警示】比较-2与-%*的大小.注意：两个负数比较大小时，绝对值大的反而小.计算:I—2l+2sin30°—（―V3）2+（tan45°）-1.【解析】原式二2+2X：-3+1-1=2+1-3+1=1.【易错警示】（-*）2二3，（tan45°）-1=1-1=L五、【课堂基础检测】TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1.计算：（一1）2+（—1）3=.（ ）A.—2 B.—1 C.0D.2答案：C如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b,则下列结论正确的是（）AR J li II.I a-] 0bIA.ab>0 B.a—b>0 C.a+b>0 D.|a—|b|>0答案：D计算一2—6的结果是（）\o"CurrentDocument"A.—8 B.8 C.—4 D.4答案：A将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），亥U度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的一3.6和乂，则（）\o"CurrentDocument"—3,6 0 一111lipiii|iiii|ihi|iH|iIn|iiu|iiii|im|iiii|iin|ini|iin|iin|iIOnn]234557 9IQII12\314bA.9<x<10 B.10<x<11C.11<x<12 D.12<x<13答案：C5.计算：|一2|+-，v'4一(3)0.解：原式=2+2一1=3.6.计算：-R+(—2)—1—12sin45°+(的—2)0.解：原式=3—2—a,i'2X+1=3—2—1+1=1.7.计算：(n—3.14)0—|—3|+&)-1—(—1)2010.解：原式=1—3+2—1=—1.六、【课后达标练习】一、选择题下列各数中，最大的数是()A.—2 B.0 C.1 D.3解析：因为正数>0>负数，所以3最大，故选D.答案：D计算3X(—2)的结果是()A.5 B.—5 C.6 D.—6解析：因为3X(-2)=-6，故选D.答案：D下列计算正确的是()A.(—1)—=0 B.(—3)2=—6 C.兀0=1 D.(—2)6^(—2)3=(—2)2解析：人项(-1)-1=1，A错误；B项(-3)2=9,B错误；D项应为-8,D错误，故选C.答案：CTOC\o"1-5"\h\z2+(—2)的值是( )A.—4 B.—4 C.0D.4解析：因为2+(-2)=0，故选C.答案：C—2的3倍是( )A.—6 B.1 C.6 D.—5解析：因为-2X3=-6，故选A.答案：A下列命题中，正确的是()若a・b>0,则a>0,b>0若a・b<0,则a<0,b<0若a-b=0，贝9a=0,且b=0若a-b=0，贝9a=0,或b=0解析：因为几个数的积