直线与直线垂直

8.6.1

直线与直线垂直课标阐释思维脉络1.理解异面直线垂直的定义.(数学抽象)2.理解异面直线所成角的概念.(数学抽象)3.会求给定两条异面直线所成的角.(数学运算)激趣诱思知识点拨如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1垂直的棱有几条?你是如何断定它们是相互垂直的?激趣诱思知识点拨知识点、异面直线所成的角(或夹角)异面直线所成的角定义已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b范围空间两条直线所成的角α的取值范围是0°≤α≤90°激趣诱思知识点拨微练习在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为

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解析:∵B1C1∥BC,∴∠AEB为异面直线AE与B1C1所成的角.∵∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.答案:65°探究素养形成当堂检测求异面直线所成的角例题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.探究素养形成当堂检测解:(方法一)如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.①

探究素养形成当堂检测②

探究素养形成当堂检测(方法三)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.探究素养形成当堂检测反思感悟

异面直线所成角的求解策略(1)求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.探究素养形成当堂检测(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).探究素养形成当堂检测延伸探究

若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?解:如图,连接A1C1,A1D.在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°.探究素养形成当堂检测异面直线的判断典例(2019广东佛山第二中学高二月考)如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是(

)探究素养形成当堂检测解析:A,B中,PQ与RS互相平行;D中,由于PR平行且等于

SQ,则四边形SRPQ为梯形,故PQ与RS相交;C中,PQ与RS既不平行,又不相交,故选C.答案:C方法点睛利用异面直线的定义和正方体的性质,逐一分析各个图形中的2条直线,即可把满足条件的图形找出来.探究素养形成当堂检测1.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有(

)A.0条 B.1条C.有限条 D.无数条解析:这些直线可以是以P为顶点,以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线,有无数条直线.答案:D探究素养形成当堂检测2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(

)A.一定平行

B.一定相交C.一定异面

D.相交或异面解析:画出图形,得到结论.如图①,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图②,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.答案:D探究素养形成当堂检测3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为(

)解析:连接AD1,CD1,∵BC1∥AD1,∴∠D1AC即为异面直线AC与BC1所成的角.答案:A探究素养形成当堂检测4.(2020山东潍坊月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是

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解析:如图