九年级-圆的对称性

专题18圆的对称性例题与求解【例1】在半径为1的。O中，弦AB,AC的长分别为√3和霹，则∠BAC度数为解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系.由于对称性是圆的基本特性,因此,在解决圆的问题时,若把对称性充分体现出来,有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB，CDEF.如果AB+CD=EF，那么AB+CD,与EF的大小关系是()A．AB+CD=EFC．AB+CD<EFB．AB+CD>EFD.AB+CD与EF的大小关系不能确定解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．【例3】⑴如图1,已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，。O过A,D,E三点，求。O的半径.⑵如图2,若多边形ABDEC是由等腰4ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2,ΘO过A,D,E三点，问。O的半径是否改变？解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，。的半径不改变，解法类似⑴.等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形,本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题,同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC,D为BAC的中点，DE⊥AB于E.求证：BD2-AD2=AB-AC.解题思路：从化简待证式入手,将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．D圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．【例5】在^ABC中，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM^+2BM+2CM—3.若P是线段AC上的一个动点，。O是过P，M，C三点的圆，过P作PD//AB交。O于点D.⑴求证：M是AB的中点；⑵求PD的长.解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM,BM,CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD是。O的直径，AB,AC是弦，且AB=AC.图1D图2图3⑴如图1,求证：直径AD平分∠BAC；⑵如图2,若弦BC经过半径OA的中点E,F是CD的中点，G是FB的中点，。O的半径为1,求弦FG的长;⑶如图3,在⑵中若弦BC经过半径OA的中点E,P为劣弧上一动点，连结PA,PB,PD,PF,求证：PA+PFPB+PD的定值．解题思路：对于⑶，先证明∠BPA=∠DPF=300,∠BPD=600,这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300,构建直角三角形；②构造PA+PF,PB+PD相关线段；③取BD的中点M,连结PM,联想常规命题；等等.本例实质是借用了下列问题:⑴如图1，PA+PB=-J3PH;⑵如图2,PA+PB=PH；ɑ⑶进一步，如图3,若∠APB=α,PH平分∠APB,贝UPA+PB=2PHcos—为定值.能力训练A级.圆的半径为5cm,其内接梯形的两底分别为6cm和8cm,则梯形的面积为cm2..如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm,高CD是5cm,原轮片的直径是 cm.第2题图（第4题图）第3题图.如图，已知CD为半圆的直径，AB⊥CD于B.设∠AOB=α，则黑・tan彳=

BD2..如图，在Rt△ABC中，∠C=900,AC=√2,BC=1,若BC=1,若以C为圆心，CB的长为半径的圆交AB于P，则AP=.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA—AB—BO的路径运动一周.设OP长为S，运动时间为t,则下列图形能大致地刻画S与t之间的关系是（ ）.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，AB=10cm,CD=6cm,那么AC的长为（ ）A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm（第7题图）（第8题图）.如图，AB为。O的直径，CD是弦.若AB=10cm,CD=8cm,那么A,B两点到直线CD的距离之和为（）A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm.如图，半径为2的。O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P,连结OP.若OP=1,求AB2+CD2的值..如图，AM是。O的直径，过。O上一点B作BN⊥AM于N,其延长线交。O于点。，弦CD交AM于点E.⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；如果弦CD交AB于点R且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD,AB的延长线交于点F,且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立,请说明理由.（第9题图）.如图，。O的内接四边形ABMC中，AB>AC,M是BC的中点，MH⊥AB于点H.求证:1BH=-2（AB-AC）.（第10题图）.⑴如图1,圆内接△ABC中，AB=BC=CA,OD,OE为。O的半径，1于点G.求证：阴影部分四边形OFCG的面积是^ABC面积的3.OD⊥BC于点F,OE⊥AC⑵如图2,若∠DOE保持1200角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和^ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的3.图1.如图，正方形ABCD的顶点A,D和正方形JKLM的顶点K,L在一个以5为半径的。O上，点J，M在线段BC上.若正方形ABCD的边长为6,求正方形JKLM的边长.KiL

（第12题图）B级.如图，AB是。O的直径，CD是弦，过A,B两点作CD的垂线，垂足分别为E,E若AB=10,AE=3,BF=5,贝UEC=（第1题图）（第2题图） （第3题图）.如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A，上，若BC=5,则折痕在^ABC内的部分DE长为..如图，已知。O的半径为R,C,D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为960,BD的度数为36。.动点P在AB上，则CP+PD的最小值为.4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）5.6.V2v5B-Γ如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点A.MN=-AC2MN岑ACC.D.5∖∕1716M是AC的中点3MN=5ACMN⊥AB于N,则有（D.MN=WAC第4题图（第6题图）（第7题图）第5题图已知，AB为。O的直径，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，且DE=3.求AC的长度.）5C4，，7.如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的。O；对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P,AB=BD，且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.8.如图,已知点A,B,C,D顺次在。O上，AB=BD,BM⊥AC于M.求证：AM^=DC+CM..如图，在直角坐体系中，点B,C在％轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的圆与AB的延长线交于点D,CD=AO，如果AB=10,AO>BO,且AO,BO是％的二次方程X2+kx+48=0的两个根.⑴求点D的坐标；1⑵若点P在直径AC上，且AP=4AC,判