第五章 §5.1 5.1.1 任意角-高中数学人教A版必修一 课件（共48张PPT）

5.1.1任意角第五章

§5.1任意角和弧度制1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角

所组成的集合.(重点)3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.(难点)学习目标导语2022年2月8日，北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛展开争夺，谷爱凌在前两轮成绩落后的情况下，第三轮超越自己做出了此前从未做出过的向左偏轴转体1620，得到94.50分的高分，也凭借总成绩188.25分夺得了这枚宝贵的金牌！我们该怎样理解向左偏轴转体1620呢？这和角度是分不开的，为了研究这个问题，我们开始今天的新课.一、任意角二、象限角三、终边相同的角随堂演练四、区域角的表示内容索引任意角

一问题1

在初中是如何定义角的？角的范围是多少？提示角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.1.角的概念及其表示角可以看成一条

绕着它的端点

所成的

.如图，(1)始边：射线的

位置OA；终边：射线的

位置OB；顶点：射线的端点O.(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.知识梳理射线旋转图形起始终止名称定义图示正角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

负角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

零角一条射线

做任何旋转形成的角

2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.逆时针顺时针没有3.角的相等如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称

.4.角的加法设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是

.5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为

，角α的相反角记为

，α－β＝α＋

.α＝βα＋β相反角－α(－β)

如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝

.例1－40°∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.反思感悟

图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度α，β，γ分别是

，

，

.跟踪训练1390°－150°60°题图①中的角是正角，α＝390°.图②中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.象限角

二问题2初中所学的0°～360°角可以怎样分类？提示锐角、直角、钝角、平角和周角.1.我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.知识梳理终边落在x轴正半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴负半轴上{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}终边落在y轴正半轴上{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}终边落在y轴负半轴上{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；(2)每一个象限都有正角和负角，无法比较哪一个象限角的大小.注意点：(多选)下列结论正确的有A.－75°是第一象限角

B.225°是第三象限角C.475°是第二象限角

D.－315°是第四象限角√例2√因为－90°<－75°<0°，所以－75°是第四象限角；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角；因为360°＋90°<475°<360°＋180°，所以475°是第二象限角；因为－360°<－315°<－270°，所以－315°是第一象限角.所以B，C正确.正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.反思感悟(多选)下列叙述不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是钝角、直角或锐角√跟踪训练2√√直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确.终边相同的角

三问题3给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.知识梳理

在与2110°角终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角；例3与2110°终边相同的角的集合为{β|β＝2110°＋k·360°，k∈Z}，由－360°<2110°＋k·360°<0°，k∈Z，得－2470°<k·360°<－2110°，k∈Z，解得k＝－6，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)最小的正角；由0°<2110°＋k·360°<360°，k∈Z，得－2110°<k·360°<－1750°，k∈Z，解得k＝－5，故所求的最小正角为β＝310°.(3)在360°～720°范围内的角.由360°≤2110°＋k·360°≤720°，k∈Z，得－1750°≤k·360°≤－1390°，k∈Z，解得k＝－4，故所求的角为β＝670°.反思感悟终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.(1)写出终边在直线y＝

上的角的集合.跟踪训练3因此，终边在直线y＝

上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.故终边在直线y＝

上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.(2)与－2024°角终边相同的最小正角是A.136° B.132°C.58° D.42°√因为－2024°＝－6×360°＋136°，所以与－2024°角终边相同的最小正角是136°.(3)若角2α与240°角的终边相同，则α等于A.120°＋k·360°，k∈ZB.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈ZD.240°＋k·180°，k∈Z√角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.区域角的表示

四问题4你能否表示出终边落在各个象限的角的集合？提示第一象限的角：{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；第二象限的角：{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限的角：{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限的角：{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}.

已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.例4终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.延伸探究1.若将本例题图改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？由题干图可知满足题意的角的集合为{β|60°＋k·360°≤β≤105°＋k·360°，k∈Z}∪{240°＋k·360°≤β≤285°＋k·360°，k∈Z}＝{β|60°＋2k·180°≤β≤105°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|60°＋(2k＋1)·180°≤β≤105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|60°＋n·180°≤β≤105°＋n·180°，n∈Z}，即所求的集合为{β|60°＋n·180°≤β≤105°＋n·180°，n∈Z}.2.已知α是第一象限角.(1)2α是第几象限角？∵α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z).∵2k·360°<2α<180°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角.方法一(分类讨论法)因为α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，方法二(几何法)如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向依次将各区域标上“一、二、三、四、一、二、三、四”，则标有“一”的区域即为角

的终边所在的区域，故

是第一或第三象限角.表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.反思感悟

如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；跟踪训练4因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|－45°＋k·360°<γ<60°＋k·360°，k∈Z}.(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角θ的集合.{θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}.课堂小结1.知识清单：(1)正角、负角、零角的概念.(2)终边相同的角的表示.(3)象限角、区域角的表示.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90°的角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.随堂演练

1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是A.B＝A∩C B.ACC.B∪C＝C D.A＝B＝C√1234由题意得BA∩C，故A错误；A与C互不包含，故B错误；由B＝{钝角}{小于180°的角}，所以B∪C＝C，故C正确；由以上分析可知D错误.2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，则α的终边在A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限√1234因为